2024　東北学院大学　前期B日程理系

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅰ)　$2$直線$y=4x+1\text{，}$$y=-x+2$のなす角$\theta$に対し$\tan \theta =\text{(ア)}$である．ただし$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅱ)　$\overrightarrow{a}=(1,t,2)$と$\overrightarrow{b}=(-3,t,t)$が垂直になる$t$の値は$\text{(イ)}$である．

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅲ)　${(a{x}^3+{\displaystyle \frac{1}{2x^2}})}^4$の展開式における$x^2$の項の係数が$6$であるとき，$a=\text{(ウ)}$である．

【２】　以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$m$を実数とする．直線$(m+1)x$$+(1-m)y$$+m-1=0$が$m$の値によらずに通る定点の座標を求めよ．

(ⅱ)　方程式$x^2-y^2+2y-1=0$が表す$2$直線を$xy$平面に図示せよ．

(ⅲ)　$m$が実数全体を動くとき，方程式$(m^2-1)x^2$$+(1-m^2)y^2$$+4mxy$$+(m^2-2m+1)x$$+(m^2-1)y=0$が表す$2$直線の交点の軌跡を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x^3+(1-a)x^2-ax$について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f(x)$が$x=1$において極値をとるときの，定数$a$の値を求めよ．

(ⅱ)　$a$を(ⅰ)で求めた値とする．$f(x)$が極小，および極大になるときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)と同様に$a$を(ⅰ)で求めた値とする．$y=f(x)$のグラフ，$x$軸，直線$x=1$で囲まれ$0\leqq x\leqq 1$をみたす部分の面積を求めよ．

【４】　関数$f(x)=(x+2-\sqrt{2})e^{\sqrt{2}-x}$について以下の問いに答えよ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^{-x}=0$を用いてよい．

(ⅰ)　$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，変曲点の座標も求めること．

(ⅱ)　曲線$y=f(x)$について，$x\geqq 0$において傾きが最小の接線を求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)で求めた傾きが最小の接線，曲線$y=f(x)\text{，}$および$y$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．