2024　東北学院大学　前期B日程文系2月2日

【１】　次の問いについて，$$に適する答えを求めよ．

(ⅰ)　$(x^4-1)(x^2-1)(x-1)$を展開すると$\text{(ア)}$となる．

【１】　次の問いについて，$$に適する答えを求めよ．

(ⅱ)　$y=-x^2+3x$と$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+ax+b$のグラフの頂点が一致するとき，$a=\text{(イ)}\text{，}$$b=\text{(ウ)}$である．

【１】　次の問いについて，$$に適する答えを求めよ．

(ⅲ)　$c$を正の定数とする．$2$次方程式$x^2-2cx+8=0$の解の$1$つが$x=c-1$となるような$c$の値は$\text{(エ)}$で，そのときの$x=c-1$以外の解は$\text{(オ)}$である．

【１】　次の問いについて，$$に適する答えを求めよ．

(ⅳ)　$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}$とするとき，不等式$2{\cos }^2\theta >3(1-\sin \theta )$の解は$\text{(カ)}$である．

【２】　集合$U=\{x|0\leqq x<1\text{，}x\text{は有理数}\}$を全体集合とし，その部分集合$A\text{，}$$B$を以下のように定める．

$A=\{x|48x\text{は整数}\}\text{，}$$B=\left\{x\right|{\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{4}{5}}\}$

このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$A$の要素の個数を求めよ．

(ⅱ)　$\overline{\stackrel{‾}{A}\cup B}$の要素の個数を求めよ．

【３】　$k$を正の定数とする．円$C_1\text{：}{x}^2+y^2=5$と円$C_2\text{：}{x}^2+y^2-2kx-4ky+4k^2=0$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　円$C_2$の中心と半径を求めよ．

(ⅱ)　$k={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$のとき，円$C_1$と円$C_2$の共有点の座標を求めよ．

(ⅲ)　円$C_1$と円$C_2$の共有点がただ$1$つ存在するとき，$k$の値を求めよ．

【４】　関数$y=f(x)$を次のように定める．

$x\leqq 1$のとき$f(x)=|2x^2+4x|$

$x>1$のとき$f(x)=|-3x^2+6x+3|$

このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．

(ⅱ)　関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

【５】　$4$個のサイコロを同時に投げるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$3\text{，}$$4\text{，}$$1\text{，}$$4$や$2\text{，}$$6\text{，}$$2\text{，}$$2$のように，同じ目が少なくとも$1$組出る確率を求めよ．

(ⅱ)　$3\text{，}$$4\text{，}$$3\text{，}$$4$や$2\text{，}$$5\text{，}$$5\text{，}$$2$のように，同じ目が$2$組出る確率を求めよ．

【６】　初項から第$3$項までの和が$35\text{，}$第$4$項から第$6$項までの和が$-945$である等比数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．ただし，$\{a_n\}$の公比は実数であるとする．

(ⅰ)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅱ)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．

(ⅲ)　$S_n$が$10000$を超える最小の自然数$n$を求めよ．