2024　東北学院大学　前期A日程理系

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅰ)　$x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{7}}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{7}}}$のとき，$x^2+y^2=\text{(ア)}$である．

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅱ)　初項$-35\text{，}$公差$2$の等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$S_n>0$を満たす最小の$n$の値は$\text{(イ)}$である．

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅲ)　方程式$x^{{\log }_{3}x}=729x$の実数解は$\text{(ウ)}$である．

【２】　$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{b}$とする．点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$は時刻$t=0$のとき頂点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$をそれぞれ出発し，辺$\mathrm{CD}\text{，}$$\mathrm{DE}$上を頂点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$へ向かって単位時間あたり$1$の速さで動く．$0\leqq t\leqq 1$のとき以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$t$で表せ．

(ⅱ)　$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$t$で表せ．

(ⅲ)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$の最小値を求めよ．

【３】　$a$を実数とする．$2$つの曲線$C_1\text{：}y=-x^3+7x^2-16x+12$と$C_2\text{：}y=-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+ax+{\displaystyle \frac{13}{2}}$について，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　曲線$C_1$の概形をかけ．

(ⅱ)　$a=-4$のときの$2$つの曲線の共有点の座標を求めよ．

(ⅲ)　$x=t$において$C_1\text{，}$$C_2$の接線の傾きが等しくなるような$a$を$t$の式で表せ．また，それを用いて，$C_1\text{，}$$C_2$の接線が一致するための$t$の値をすべて求めよ．

【４】　$0<x<\pi$で定義される関数$f(x)=e^{x-\pi }|\sin (x-\pi )|$について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$f(x)$の極大値と，そのときの$x$の値を求めよ．

(ⅲ)　$y=f(x)$のグラフと曲線$y=e^{x-\pi }\text{，}$および$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．