2024　福岡女子大学　前期MathJax

【１】　十六進法では数が$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6\text{，}$$7\text{，}$$8\text{，}$$9\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$の計$16$個の数字と文字を用いて表され，$\mathrm{A}$から$\mathrm{F}$はそれぞれ十進法による$10$から$15$を表す．一方，コンピュータのディスプレイ等では，ある色を赤，緑，青の$3$つの原色の混合によって表現する方法がとられている．ある色を構成する$3$つの原色の明るさ（輝度）をそれぞれ十六進法による$2$桁の数値で表すとき，それらを赤，緑，青の順に並べた$6$桁の数字や文字の列を，その色のカラーコードと呼ぶことにする．例えば，赤の明るさが${12}_{(16)}$で，緑の明るさが${34}_{(16)}$で，青の明るさが${56}_{(16)}$である色のカラーコードは$123456$である．このとき，以下の問に答えなさい．

(1)　${2\mathrm{A}}_{(16)}$を十進法および二進法で表しなさい．

(2)　十六進法による$2$桁の数値で表現できる最大の整数を十六進法および十進法で表しなさい．

(3)　${33}_{(16)}\text{，}$${66}_{(16)}\text{，}$${99}_{(16)}\text{，}$${\mathrm{CC}}_{(16)}$をそれぞれ十進法で表しなさい．また，赤の明るさが${33}_{(16)}\text{，}$緑の明るさが赤の明るさの$3$倍，青の明るさが赤の明るさの$4$倍である色のカラーコードを求めなさい．

(4)　赤，緑，青の明るさがそれぞれ十進法で$178\text{，}$$36\text{，}$$60$で表される色のカラーコードを求めなさい．

【２】　$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$\cos 4\alpha =\cos \alpha$を満たす$\alpha$がただ$1$つある．以下の問に答えなさい．

(1)　$\alpha$の値を求め，$\cos 2\alpha =\cos 3\alpha$を示しなさい．

(2)　$\cos \alpha =x\text{，}$$\cos 2\alpha =y$とする．$x^2-y^2$が$-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x-y)$であることを示し，$x+y$の値を求めなさい．

(3)　$\cos \alpha$の値を求めなさい．

【３】　三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BO}$をそれぞれ$m:n$に内分する点を，順に$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$とし，それぞれ外分する点を順に$X\text{，}$$\mathrm{Y}\text{，}$$\mathrm{Z}$とする．ただし，$m>n>0$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．以下の問に答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$m\text{，}$$n$を用いてそれぞれ表しなさい．

(2)　三角形$\mathrm{OAB}$が，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{\angle O}$が$90\mathrm{°}$の直角二等辺三角形であるとき，$\mathrm{OD}\perp \mathrm{CE}$であることを示しなさい．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OX}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OY}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OZ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$m\text{，}$$n$を用いてそれぞれ表しなさい．

(4)　三角形$\mathrm{CDE}$の重心と三角形$\mathrm{XYZ}$の重心をそれぞれ${\mathrm{G}}_1\text{，}$${\mathrm{G}}_2$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{G}}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{G}}_2}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いてそれぞれ表しなさい．

【４】　関数

$f(x)=\log (x^2+1)-x^4+{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2$

の最大値を$M$とする．このとき，以下の問に答えなさい．

(1)　関数$f(x)$の極値を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形を描きなさい．また，$M$の値を求めなさい．

(2)　定積分

${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}\mathit{dx}$

の値を$x=\tan \theta$とおくことにより求めなさい．

(3)　定積分

${\displaystyle {\int }_0^1}\log (x^2+1)\mathit{dx}$

の値を求めなさい．

(4)　曲線$y=f(x)$と直線$y=M$で囲まれた部分の面積$S$の値を求めなさい．

【５】　図のような三角柱を考える．

　この三角柱の頂点間を辺に沿って移動する動点$\mathrm{P}$がある．移動する際には，サイコロ$1$個を$1$回振り，出た目の数と動点$\mathrm{P}$の現在位置によって定まる頂点に移動する．動点$\mathrm{P}$の移動先は以下の表で与えられる．例えば，動点$\mathrm{P}$の現在位置が頂点${\mathrm{B}}_2$であるとき，サイコロを振って$5$の目が出た場合には，動点$\mathrm{P}$は頂点${\mathrm{A}}_2$に移動する．

動点$\mathrm{P}$の最初の位置は頂点${\mathrm{A}}_1$であり，上のルールによる移動を次々と繰り返していくとき，以下の問に答えなさい．ただし，$n$回目の移動後に動点$\mathrm{P}$の位置が頂点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3$のいずれかである確率を$a_n\text{，}$頂点${\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_2\text{，}$${\mathrm{B}}_3$のいずれかである確率を$b_n\text{，}$頂点${\mathrm{A}}_1$である確率を$p_n\text{，}$頂点${\mathrm{B}}_2$か${\mathrm{B}}_3$のいずれかである確率を$q_n$とする．

(1)　$a_1\text{，}$$b_1\text{，}$$a_2\text{，}$$b_2$の値を求めなさい．

(2)　$p_1\text{，}$$q_1\text{，}$$p_2\text{，}$$q_2$の値を求めなさい．

(3)　$a_{n+1}$と$b_{n+1}$を$a_n$を用いた式で表しなさい．

(4)　$a_n$と$b_n$を$n$を用いた式で表しなさい．

(5)　$p_{n+1}$と$q_{n+1}$を$p_n\text{，}$$q_n$を用いた式で表しなさい．

(6)　$p_n$と$q_n$を$n$を用いた式で表しなさい．

(7)　$n$回目の移動後に動点$\mathrm{P}$の位置が頂点${\mathrm{B}}_1$である確率$r_n$を$n$を用いた式で表しなさい．

【４】　曲線$C\text{：}y=x^4-2x^2$と直線$l\text{：}y=k$を考える．以下の問に答えなさい．

(1)　曲線$C$のグラフの概形を描きなさい．

(2)　$k=0$とするとき，曲線$C$と直線$l$により囲まれる部分の面積を求めなさい．

(3)　曲線$C$と直線$l$が$4$点で交わるとき，実数$k$の範囲を答えなさい．

(4)　曲線$C$と直線$l$が$4$点で交わるとし，その$x$座標を$t_1\text{，}$$t_2\text{，}$$t_3\text{，}$$t_4$とする．ただし$t_1<t_2<t_3<t_4$とする．$t_2-t_1=t_3-t_2=t_4-t_3$が成り立つとき，${t_3}^2+{t_4}^2$および$t_1\text{，}$$t_2\text{，}$$t_3\text{，}$$t_4$の値を求めなさい．