2024　北九州市立大学　後期

【１】　以下の問いに答えよ．空欄に入れるのに適する数値，数式，または語句を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１(1)　$\cos 22.5\mathrm{°}$の値は$\text{ア}$である．また，$\tan 67.5\mathrm{°}$の値は$\text{イ}$である．

(2)　夜に小さな光点が見えた．地点$\mathrm{A}$からは光点が北北東（北と北東の中間）の方向に見えた．地点$\mathrm{A}$から東に$3\mathrm{km}$移動した地点$\mathrm{B}$からは光点が北西（北と西の中間）の方向に見えた．各地点の観察位置は光点と同じ高さにあり，各地点における北向きの単位ベクトルは等しいものとする．$\tan 67.5\mathrm{°}=p$として光点の位置を$p$を用いて表すと，光点は地点$\mathrm{A}$から東に$\text{ウ}\mathrm{km}\text{，}$北に$\text{エ}\mathrm{km}$の位置にある．

【１】　以下の問いに答えよ．空欄に入れるのに適する数値，数式，または語句を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　$2024$年はうるう年であり，$2024$年$3$月$12$日は火曜日である．うるう年は$366$日あり$2$月が通常よりも$1$日だけ多い．$1901$年から$2050$年までの期間において，うるう年は$4$年に$1$度巡ってくる．$365$を$7$で割った余りは$\text{オ}$であることから，$2025$年$3$月$12$日は$\text{カ}$曜日とわかる．また，$1924$年$3$月$12$日は$\text{キ}$曜日である．

【１】　以下の問いに答えよ．空欄に入れるのに適する数値，数式，または語句を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問３　辺の長さが$1$の正五角形があり，その辺上を時計回りに周回するすごろくゲームを行う．正五角形の頂点には時計回りに順番に$0$から$4$までの番号が付けられている．最初に自分のコマの開始位置としていずれかの頂点を選ぶ．サイコロを$1$回投げて，出た目の数だけコマを進める．サイコロを投げてコマを進める操作を$2$回行った後にコマがある頂点の番号の得点がもらえるものとする．

(1)　開始位置として頂点$0$を選んだとき，$2$回コマを進めた後に頂点$1$にコマがある確率は$\text{ク}$である．

(2)　このゲームでは，開始位置として頂点$\text{ケ}$を選ぶと，$4$点の得点をもらえる確率がほかの得点をもらえる確率よりも$\text{コ}$だけ大きくなる．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{\angle A}$の二等分線上の点を$\mathrm{P}$とし，この二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．また，辺$\mathrm{BC}\text{，}$辺$\mathrm{AC}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とし，$\mathrm{▵ABC}$の面積を$S$とする．以下の問いに答えよ．問１と問２については，空欄に入れるのに適する数式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．問３と問４については，答えを導く過程を記すこと．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と同じ向きの単位ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{\prime }}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{C}}^{\prime }}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{P}}^{\prime }}=\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{\prime }}+\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{C}}^{\prime }}$とすると，点$\mathrm{D}$は直線$\mathrm{A}{\mathrm{P}}^{\prime }$上の点となる．したがって，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$$b\text{，}$$c$および実数$k$$\text{（}k\geqq 0\text{）}$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=k\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{P}}^{\prime }}=\text{サ}$

と表される．また，点$\mathrm{D}$は辺$\mathrm{BC}$上の点であるから

$\text{シ}=1$

を満足する．したがって，$k$は

$k=\text{ス}$

と表される．

　以下の問いでは，点$\mathrm{P}$が$a\overrightarrow{\mathrm{AP}}+b\overrightarrow{\mathrm{BP}}+c\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}$を満足するものとする．

問２　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$$a\text{，}$$b$および$c$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\text{セ}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\text{ソ}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

と表される．

問３　$\mathrm{▵ABP}$の面積を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$および$S$を用いて表せ．

問４　点$\mathrm{P}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{H}$とするとき，線分$\mathrm{PH}$の長さを$a\text{，}$$b\text{，}$$c$および$S$を用いて表せ．

【３】　関数$f(x)=2x\sqrt{9-5x^2}$が座標平面上に描く曲線$C\text{：}y=f(x)$について，以下の問いに答えよ．問１については，空欄に入れるのに適する数値または数式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．問２と問３については，答えを導く過程を記すこと．

問１　まず，$f(x)$の定義域を求める．$f(x)$が実数となる条件$\text{タ}\geqq 0$より，$y$の値が定まる$x$の値全体の範囲は

$\text{チ}\leqq x\leqq \text{ツ}$

となり，この区間において$f(x)$は連続である．つぎに，$y=f(x)$が極値をとる可能性のある$x$の値を求める．区間$\text{チと同じ}<x<\text{ツと同じ}$で$y=f(x)$は微分可能であり，

$y^{\prime }=\text{テ}$

となるので，$y^{\prime }=0$の解は

$x=\text{ト}\text{，}\text{ナ}$（順不同）

となる．

問２　$f(x)$の増減を調べ，グラフをかけ．

問３　$x\geqq 0$の範囲において，曲線$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．