2024　北九州市立大学　前期

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　$2$次方程式$x^2-2kx+k+12=0$が異なる$2$つの正の解をもつような定数$k$の値の範囲は$\text{ア}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　$1$辺の長さが$4$の正四面体$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{\angle AMD}=\theta$とするとき，$\cos \theta =\text{イ}$である．また，三角形$\mathrm{AMD}$の面積は$\text{ウ}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問３　$5$人がじゃんけんを$1$回行うとき，$1$人だけが勝つ確率は$\text{エ}$で，あいこになる確率は$\text{オ}$である．じゃんけんの手は$3$種あり，等確率で出すものとする．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問４　縦$494\mathrm{cm}\text{，}$横$52\mathrm{cm}$の長方形の壁に同じ大きさの正方形のタイルをすき間なく敷き詰めるとき，タイルをできるだけ大きくするには，$1$辺の長さを$\text{カ}\mathrm{cm}$とすればよい．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問５　半径$a\text{，}$$b$$\text{（}0<a<b\text{）}$の$2$つの円$C_1\text{，}$$C_2$が外接し，さらに，$C_1\text{，}$$C_2$がそれぞれ異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で直線$l$に接しているとき，円$C_1\text{，}$$C_2$の中心をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とすると，四角形$\mathrm{ABQP}$の面積は$\text{キ}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，関数$y=\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta -{\sin }^2\theta$の最大値は$\text{サ}$あり，最小値は$\text{シ}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　$2$点$(-4,-2)\text{，}$$(4,4)$を直径の両端とする円は，$y$軸と異なる$2$点$(0,\text{ス})\text{，}$$(0,\text{セ})$で交わる．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問３　$x>1$のとき，$x+{\displaystyle \frac{1}{x-1}}$の最小値は$\text{ソ}$であり，最小値となるときの$x$の値は$\text{タ}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問４　$1$つの平面上に$30$本の異なる直線があり，どの$2$本も平行ではなく，またどの$3$本も$1$点で交わらないとき，それらの交点の個数は$\text{チ}$である．

【３】　円${(x-1)}^2+{(y-1)}^2=4$を$C_1\text{，}$放物線$y=x^2-x+1$を$C_2\text{，}$点$(0,-2)$を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{Q}$が$C_1$上を動くとき，点$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{PQ}$上にあり，$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}=u:(1-u)$を満たす．点$\mathrm{R}$の軌跡は円となり，その円を$C$とする．ただし，$u$は$0<u<1$である．

　以下の問いに答えよ．問１では，空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．問２と問３では，答えを導く過程を示すこと．

問１　円$C$の中心の座標と半径を$u$を用いて表すと，中心$(\text{ナ}.\text{ニ})\text{，}$半径$\text{ヌ}$である．

問２　$u={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$C$の中心と点$\mathrm{P}$を通る直線を$l$とする．$l$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

問３　$u$を${\displaystyle \frac{2}{5}}<u<{\displaystyle \frac{2}{3}}$とする．$C$が$x$軸と異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で交わるとき，$C$の中心および$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を頂点とする三角形の面積を$S$とする．$S$を$u$を用いて表し，$S$が最大になるときの$u$の値を求めよ．

【４】　点$\mathrm{A}$$(-1,2)$から直線$x-3y+2=0$に垂線を下ろし，この直線との交点を$\mathrm{H}$とする．以下の問いに答えよ．答えを導く過程を示すこと．

問１　直線$x-3y+2=0$の法線ベクトル$\overrightarrow{n}=(1,-3)$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=k\overrightarrow{n}$を満たす実数$k$の値を求めよ．

問２　点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

問３　線分$\mathrm{AH}$の長さを求めよ．

【１】　数列$\{a_n\}\text{，}$数列$\{b_n\}$において，$a_1=0\text{，}$$b_1=-2$であり，数列$\{a_n\text{}}$と数列$\{b_n\}$は次の式を満たすとする．

$a_{n+1}=-2a_n+3b_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_{n+1}=-5a_n+6b_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

また，数列$\{x_n\}$を$x_n=-5a_n+3b_n$で定める．以下の問題に答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$b_2$を求めよ．

(2)　$x_1$を求めよ．

(3)　数列$\{x_n\}$の一般項$x_n$を求めよ．

(4)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$と，数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を求めよ．

【２】　$-1\leqq x\leqq 3$を満たす$x$に対し，$f(x)=(x-1)(|x-1|-2)$とする．また，${\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq t\leqq 1$を満たす$t$に対し，

$g(t)={\displaystyle {\int }_{-t}^{3t}}f(x)\mathit{dx}$

とする．以下の問題に答えよ．

(1)　$f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\text{，}$$f(2)$の値を求めよ．

(2)　$g\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$の値を求めよ．

(3)　$g(t)$の最大値を求めよ．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$を考える．点$\mathrm{B}$における外接円の接線と辺$\mathrm{AC}$の延長が点$\mathrm{D}$で交わるとする．ただし，$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{BD}=1\text{，}$$\mathrm{\angle ACB}=\theta$とし，点$\mathrm{C}$は線分$\mathrm{AD}$を$5:4$に内分するものとする．以下の問題に答えよ．

(1)　$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

(2)　$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

(3)　$\cos \theta$を求めよ．

(4)　三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めよ．

(5)　三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径$r$を求めよ．

【４】　$1$個のさいころを繰り返し$3$回投げるとき，出た目を順に$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．以下の問題に答えよ．

(1)　$abc=9$となる確率を求めよ．

(2)　$a+b+c=5$となる確率を求めよ．

(3)　$a+b+c=7$となる確率を求めよ．

(4)　$ab+bc+ca=14$となる確率を求めよ．

(5)　$a+b+c=7$という条件のもとで，$ab+bc+ca=14$となる条件付き確率を求めよ．