2024　九州歯科大学　前期

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$x\text{，}$$y$は実数とする．

命題$\text{「}xy=0⟹x=0\text{または}y=0\text{」}$

の対偶として正しいものを，次の(ア)，(イ)，(ウ)，(エ)のうちから$1$つ選べ．

(ア)　$x\ne 0\text{または}y\ne 0$$⟹xy=0$

(イ)　$x\ne 0\text{かつ}y\ne 0$$⟹xy=0$

(ウ)　$x\ne 0\text{または}y\ne 0$$⟹xy\ne 0$

(エ)　$x\ne 0\text{かつ}y\ne 0$$⟹xy\ne 0$

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，次の方程式を満たす$\theta$の値をすべて求めよ．

$2{\sin }^3\theta +3\sqrt{3}{\cos }^2\theta +3\sin \theta -3\sqrt{3}=0$

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$\mathrm{a}\text{，}$$\mathrm{b}\text{，}$$\mathrm{b}\text{，}$$\mathrm{c}\text{，}$$\mathrm{d}\text{，}$$\mathrm{e}\text{，}$$\mathrm{e}$の$7$個の文字全部を1 列に並べる順列のうちで，次のような並べ方は何通りあるか．

$\text{①}$　最初の文字が$\mathrm{a}$かつ最後の文字が$\mathrm{e}$となる．

$\text{②}$　$2$つの$\mathrm{e}$が隣り合う．

【２】　関数$f(x)=\log (x+1)$$\text{（}x>-1\text{）}$について，次の問いに答えよ．ただし，$\log$は自然対数，$e$は自然対数の底とする．

(1)　$f(x)$の逆関数$f^{-1}(x)$を求めよ．

(2)　$x\geqq 0$に対して，$f(x)$と$f^{-1}(x)$の大小関係を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_1^7}{f}^{-1}(x)\mathit{dx}$の値を求めよ．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_1^7}f(x)\mathit{dx}$の値を求めよ．

(5)　$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}$$y=f^{-1}(x)$と$2$直線$x=1\text{，}$$x=7$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【３】　自然数$n$に対して，関数$f_n(x)\text{，}$$g_n(x)$をそれぞれ

$f_n(x)={\displaystyle \frac{1-x^{n+1}}{1-x}}$$\text{（}0<x<1\text{），}$

$g_n(x)=1+{\displaystyle \sum _{j=1}^n}{x}^j$$\text{（}0<x<1\text{）}$

と定める．次の問いに答えよ．

(1)　導関数$f_n^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$0<x<1$とする．すべての自然数$n$に対して，

$g_n(x)=f_n(x)$

が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．

(3)　自然数$n$に対して，

$a_n={\displaystyle \sum _{j=1}^n}j\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right){\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^j$

とおく．$a_n$を，$f_n^{\prime }\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$を用いて表せ．

(4)　上記(3)の$a_n$について，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．ただし，$\underset{n\to \infty }{\lim }n{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n=0$を証明なしに用いてもよい．