2024　高知工科大学　総合選抜情報学群数学②

【１】　以下の文章中の空欄$\text{ア}\text{〜}$$\text{コ}$にあてはまる数をそれぞれ答えなさい．

(1)　異なる$10$個の整数$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6\text{，}$$7\text{，}$$8\text{，}$$9\text{，}$$10$から異なる$2$個の数を選び，選んだ$2$個の数を小さい方から$a\text{，}$$b$とする．

(ⅰ)　$2$個の数$a\text{，}$$b$の組は全部で$\text{ア}$個ある．

(ⅱ)　$a+b=10$を満たすような$2$個の数$a\text{，}$$b$の組は全部で$\text{イ}$個ある．

(ⅲ)　$b-a$の値が$5$となるような$2$個の数$a\text{，}$$b$の組は全部で$\text{ウ}$個ある．

(ⅳ)　$b-a$の値が偶数となるような$2$個の数$a\text{，}$$b$の組は全部で$\text{エ}$個ある．

(ⅴ)　$b-a$の値が$3$の倍数となるような$2$個の数$a\text{，}$$b$の組は全部で$\text{オ}$個ある．

(2)　異なる$8$個の整数$2\text{，}$$2^2\text{，}$$2^3\text{，}$$2^4\text{，}$$2^5\text{，}$$2^6\text{，}$$2^7\text{，}$$2^8$から異なる$2$個の数を選び，選んだ$2$個の数を小さい方から$X\text{，}$$Y$とし，$X=2^x\text{，}$$Y=2^y$とする．

(ⅰ)　$XY=1024$のとき，$x+y=\text{カ}$であり，そのような$2$個の数$x\text{，}$$y$の組は全部で$\text{キ}$個ある．

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{Y}{X}}=8$となるような$2$個の数$x\text{，}$$y$の組は全部で$\text{ク}$個ある．

(ⅲ)　$2$個の数$X\text{，}$$Y$の組は全部で$\text{ケ}$個あり，このすべての組についての${\displaystyle \frac{Y}{X}}$の値の総和は$\text{コ}$である．

【２】　$n$を自然数とする．$n$個の偶数$2\text{，}$$4\text{，}$$6\text{，}$$\cdots \text{，}$$2n$を無作為に並べた数列$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$を考える．次の各問に答えなさい．解答にあたっては，解答の過程も記述しなさい．

(1)　$n=6$のとき，以下の値を答えなさい．

(ⅰ)　$(a_1,a_2,\cdots ,a_6)=(2,4,6,8,10,12)$であるときの${\displaystyle \sum _{k=1}^6}{a}_k$および${\displaystyle \sum _{k=1}^6}{(a_k-2k)}^2$

(ⅱ)　$(a_1,a_2,\cdots ,a_6)=(8,4,2,6,12,10)$であるときの${\displaystyle \sum _{k=1}^6}{a}_k$および${\displaystyle \sum _{k=1}^6}{(a_k-2k)}^2$

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k\text{，}$${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k^2$を$n$の式で表しなさい．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(a_k-2k)}^2+{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(a_k-2n+2k-2)}^2$を$n$の式で表しなさい．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(a_k-2k)}^2$が最大になる条件は

$a_k=2n-2k+2$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$

であることを証明しなさい．

【３】　$n$を$2$以上の自然数とする．$a\text{，}$$b$を$n$個の整数$2\text{，}$$2^2\text{，}$$2^3\text{，}$$\cdots \text{，}$$2^n$のうちの異なる$2$個の数とし，$a<b$とする．このようなすべての組$(a,b)$についての${\displaystyle \frac{b}{a}}$の値の総和を$S_n$とする．次の各問に答えなさい．解答にあたっては，解答の過程も記述しなさい．

(1)　等式${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k\cdot 2^{k-1}=(n-1)\cdot 2^n+1$を数学的帰納法を用いて証明しなさい．

(2)　$S_n$を$n$の式で表しなさい．