2024　高知工科大学　総合選抜情報学群数学①MathJax

【１】　関数$f(x)$を$f(x)=x^3-12x^2+21x+98$とする．

　以下の文章中の空欄$\text{ア}\text{〜}$$\text{コ}$にあてはまる数をそれぞれ答えなさい．

(1)　方程式$f(x)=0$の異なる解は$2$個あり，小さい方から順に$x=\text{ア}$および$x=\text{イ}$である．

(2)　関数$f(x)$は，$x=\text{ウ}$のとき極大値をとり，$x=\text{エ}$のとき極小値をとる．

(3)　曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$$(2,f(2))$における接線を$l$とし，$l$の方程式を$y=g(x)$とおく．

(ⅰ)　$g(x)=\text{オ}x+\text{カ}$であり，$C$と$l$の点$\mathrm{A}$以外の交点を$\mathrm{B}$とすると，点$\mathrm{B}$の$x$座標は$\text{キ}$である．

(ⅱ)　(ⅰ)のとき，$C$と$l$の$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の間に，それぞれ点$\mathrm{P}$$(t,f(t))\text{，}$点$\mathrm{Q}$$(t,g(t))$をとる．$t$が$2<t<\text{キ}$の範囲で変化するとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さは$t=\text{ク}$において最大値$\text{ケ}$をとる．また，$t=\text{ク}$のとき，三角形$\mathrm{ABP}$の面積は$\text{コ}$である．

【２】　次の各問に答えなさい．解答にあたっては，解答の過程も記述しなさい．

(1)　$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1$であることを利用して，極限$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin (\sin x)}{x}}$を求めなさい．

(2)　(1)で示したことを利用して，極限$\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin (\cos x)}{x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}}$を求めなさい．

(3)　$\underset{x\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x-\sin (\sin x)}{x-\sin x}}=1$であることを示しなさい．

【３】　座標平面上に，$2$つの曲線

$C_1\text{：}y=(x-2)e^x\text{，}$$C_2\text{：}y=a{x}^2$

がある．ただし，$e$は自然対数の底であり，$a$は正の実数の定数とする．

　次の各問に答えなさい．解答にあたっては，解答の過程も記述しなさい．

(1)　曲線$C_1$上の点$(t,(t-2)e^t)$における接線の方程式を求めなさい．

(2)　(1)の直線が曲線$C_2$に接するとき，$a$と$t$の関係式を求めなさい．

(3)　$2$つの曲線$C_1\text{，}$$C_2$の両方に接する直線の本数を$a$の値によって分類しなさい．