2024　高知工科大学　総合選抜システム工学群MathJax

【１】　平面上に三角形$\mathrm{OAB}$がある．辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{CQ}:\mathrm{QD}\text{，}$$\mathrm{OQ}:\mathrm{QP}$を求めよ．

(3)　$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$が$1$つの円$S$上にあり，$\mathrm{OA}=3\sqrt{5}\text{，}$$\mathrm{AB}=\sqrt{30}$とする．辺$\mathrm{OB}$の長さと内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

【２】　$\mathrm{AB}=1\text{，}$$\mathrm{BC}=2\text{，}$$\mathrm{CD}=3\text{，}$$\mathrm{DA}=4$の四角形$\mathrm{ABCD}$がある．四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を$S\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=\alpha \text{，}$$\mathrm{\angle CDA}=\beta$とおく．ただし，四角形$\mathrm{ABCD}$の$4$つの内角はすべて$180\mathrm{°}$より小さいものとする．なお，必要に応じて三角関数の加法定理$\sin (\alpha +\beta )$$=\sin \alpha \cos \beta$$+\cos \alpha \sin \beta \text{，}$および$\cos (\alpha +\beta )$$=\cos \alpha \cos \beta$$-\sin \alpha \sin \beta$を用いてよい．

(1)　$S$を$\sin \alpha \text{，}$$\sin \beta$を用いて表せ．

(2)　対角線$\mathrm{AC}$の長さを$\cos \alpha$を用いて表せ．また，対角線$\mathrm{AC}$の長さを$\cos \beta$を用いて表せ．

(3)　$S^2$を$\cos (\alpha +\beta )$の式で表せ．

(4)　$S$の最大値，およびそのときの$\sin \alpha \text{，}$$\cos \alpha$の値を求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，曲線

$C\text{：}y=-x^2+2x+3$

と，$2$点$\mathrm{A}$$(0,3)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,0)$がある．また，$0<p<q<3$とし，$x$座標が$p\text{，}$$q$である$C$上の$2$点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．また，五角形$\mathrm{OAPQB}$の面積を$S$とおく．

(1)　$S$を$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

(2)　$q$を固定し，$p$を$0<p<q$で変化させるとき，$S$の最大値を$q$を用いて表せ．

(3)　$S$の最大値を求めよ．