2024　高知工科大学　総合選抜経済・マネジメント学群

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　連立不等式

$\{\begin{array}{l}4x+3\geqq 9x-1\\ -2x+3<x+5\end{array}$

を解け．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　頂点が$(1,3)$で，点$(2,1)$を通る放物線をグラフにもつ$2$次関数を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　次のデータの四分位範囲を求めよ．

$3\text{，}$$5\text{，}$$7\text{，}$$5\text{，}$$3\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$8\text{，}$$5$

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　等式$x+y+z+w=10$を満たす負でない整数の組$(x,y,z,w)$は全部で何個あるか求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　円$\mathrm{O}$の外部の点$\mathrm{P}$から円$\mathrm{O}$に引いた接線の接点を$\mathrm{T}$とする．$\mathrm{P}$を通る直線が円$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で交わっており，$\mathrm{PA}=3\text{，}$$\mathrm{PB}=6$である．このとき$\mathrm{PT}$の長さを求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　$4$次方程式$x^4-9x^2+20=0$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　$2$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,0)$からの距離の比が$1:\sqrt{2}$であるような点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　${\log }_{2}3\cdot {\log }_2{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{5}}\cdot {\log }_{3}4$を簡単にせよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(9)　方程式$x^3-3x^2-9x=a$が相異なる$3$個の実数解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(10)　放物線$y=x(4-x)$と直線$y=x$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(11)　$\mathrm{A}$$(0,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-3,2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,4)$とする．点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(12)　条件$a_1=3\text{，}$$a_{n+1}=3a_n-2$$\text{（}n\geqq 1\text{）}$で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　次の会話文を読み，後の設問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(ⅰ)　先生と$4$人の生徒$\mathrm{A}$さん，$\mathrm{B}$さん，$\mathrm{C}$さん，$\mathrm{D}$さんがいます．先生が$\mathrm{A}$さん，$\mathrm{B}$さん，$\mathrm{C}$さんにそれぞれカードを$1$枚ずつ渡して言いました．$\text{「}\mathrm{A}$さんと$\mathrm{C}$さんのカードには$2$けたの自然数，$\mathrm{B}$さんのカードには$2$以上の$1$けたの自然数が書いてあります．$\mathrm{A}$さんの数と$\mathrm{B}$さんの数の積が$\mathrm{C}$さんの数と等しくなっています．」$\text{（}\mathrm{A}$さん，$\mathrm{B}$さん，$\mathrm{C}$さんはそれぞれ自分のカードの数しか知りません．）

(ⅱ)　さらに先生は言いました．$\text{「}\mathrm{C}$さんの数は$50$以下です．自分のカードの数だけを手がかりに，他の$2$人のカードの数を当ててみてください．」

(ⅲ)　$3$人はいろいろと考えていましたが，しばらくして$\mathrm{B}$さんが言いました．「私には他の$2$人の数がわかりません．」

(ⅳ)　さらに$\mathrm{A}$さんが言いました．「私にも他の$2$人の数がわかりません．」

(ⅴ)　すると$\mathrm{C}$さんが「それを聞いて，いま私には他の$2$人の数がわかりました．$\mathrm{A}$さんのカードの数は$12$です」と言いました．

　$\mathrm{A}$さん，$\mathrm{B}$さん，$\mathrm{C}$さんのカードの数をそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とします．$\mathrm{D}$さんは誰のカードの数も見ていませんが，次の解法のように考えて$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を知ることができました．

[解法]　まず(ⅰ)から

$a\geqq \text{(ア)}\text{，}$$b\geqq 2\text{，}$$ab=c$(＊)

がわかる．

　次に(ⅱ)から$c\leqq 50$である．これと(＊)からまず

$2\leqq b\leqq \text{(イ)}$

がわかる．さらに，上の不等式を満たす自然数のうち，(ⅲ)から$b=\text{(ウ)}$はありえないことがわかる（もし$b=\text{(ウ)}$なら，$\mathrm{B}$さんには$a=\text{(エ)}\text{，}$$c=\text{(オ)}$であることがわかってしまうから(ⅲ)と矛盾する）．したがって，$b$の取りうる値を小さい順に書くと

$b=\text{(カ)}\text{，}$$\text{(キ)}\text{，}$$\text{(ク)}$(＊＊)

となる．

　次に(ⅳ)から$a\leqq \text{(ケ)}$がわかる（そうでなければ，$\mathrm{A}$さんには$b=2$であることがわかり，したがって$c$の値もわかってしまうから(ⅳ)と矛盾する）．

　次に(ⅴ)から$c=12b$である．これと(＊＊)から，$c$の取りうる値を小さい順に書くと

$c=\text{(コ)}\text{，}$$\text{(サ)}\text{，}$$\text{(シ)}$

となる．

　このうち，もし$c=\text{(ス)}$ならば，自分のカードの数の約数を考えることにより，(ⅳ)の発言を聞く前に$\mathrm{C}$さんには$(a,b)=((\text{セ)},\text{(ソ)})$であることがわかってしまう．

　また，もし$c=\text{(タ)}$ならば，(ⅳ)の発言を聞いても$\mathrm{C}$さんには他の$2$人の数がわからない（この場合$(a,b)=(\text{(チ)},\text{(ツ)})\text{，}$$(\text{(テ)},\text{(ト)})$の$2$組の可能性がある）．

　以上より，$c=\text{(ナ)}$であることがわかる．このことから$b$の値もわかる．

設問

(1)　最も適切な自然数を空欄(ア)〜(ナ)に記せ．ただし，$\text{(チ)}<\text{(テ)}$とする．

(2)　$\mathrm{A}$さん，$\mathrm{B}$さん，$\mathrm{C}$さんに別のカードが配られたが，(ⅰ)〜(ⅳ)までの発言は変わらなかった．その後$\mathrm{C}$さんが「それを聞いて，いま私には他の$2$人の数がわかりました．$\mathrm{B}$さんのカードの数は$4$です」と言った場合，$c$の取りうる値をすべて挙げよ．

【３】　次の定理とその証明の概略を読み，後の設問に答えよ．

[定理]　$\mathrm{▵ABC}$の外接円の半径を$R\text{，}$内接円の半径を$r$とする．また，$\mathrm{\angle A}\text{，}$$\mathrm{\angle B}\text{，}$$\mathrm{\angle C}$の大きさをそれぞれ$A\text{，}$$B\text{，}$$C$とする．

(ⅰ)　等式

$r(\sin A+\sin B+\sin C)$$=2R\sin A\sin B\sin C$$\cdots \text{①}$

が成り立つ．

(ⅱ)　等式

$\sin A+\sin B+\sin C$$=4\cos {\displaystyle \frac{A}{2}}\cos {\displaystyle \frac{B}{2}}\cos {\displaystyle \frac{C}{2}}$$\cdots \text{②}$

が成り立つ．

(ⅲ)　$R\geqq 2r$が成り立つ．

[証明の概略]

(ⅰ)　$a=\mathrm{BC}\text{，}$$b=\mathrm{CA}\text{，}$$c=\mathrm{AB}$とし，$\mathrm{▵ABC}$の面積を$S$とすると

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}(a+b+c)r={\displaystyle \frac{1}{2}}ab\sin C$$\cdots \text{③}$

である．ここで正弦定理より

$a=\text{(ア)}\text{，}$$b=\text{(イ)}\text{，}$$c=\text{(ウ)}$

であるから，_(エ)これらを$\text{③}$に代入して整理すると$\text{①}$が得られる．

(ⅱ)　$A+B+C=\pi$より

$\sin C=\sin \{\pi -(A+B)\}$$=\sin (A+B)$$=\sin A\cos B+\cos A\sin B$

である．よって

$\sin A+\sin B+\sin C$$=\sin A+\sin B+\sin A\cos B+\cos A\sin B$$=\sin A(1+\cos B)+\sin B(1+\cos A)$

である．_(オ)右辺を，正弦の$2$倍角の公式と余弦の半角の公式を利用して書きかえ，整理すると

$\sin A+\sin B+\sin C=4\cos {\displaystyle \frac{A}{2}}\cos {\displaystyle \frac{B}{2}}\sin {\displaystyle \frac{A+B}{2}}$$\cdots \text{④}$

が得られる．$A+B+C=\pi$を利用して，

_(カ)$\underline{\text{右辺の}\sin {\displaystyle \frac{A+B}{2}}\text{を変形すると}\text{②}\text{が得られる．}}$

(ⅲ)　$\text{①}$の右辺において

$\sin A\sin B\sin C$$=2\sin {\displaystyle \frac{A}{2}\cos {\displaystyle \frac{A}{2}}\cdot 2\sin {\displaystyle \frac{B}{2}\cos {\displaystyle \frac{B}{2}}}\cdot 2\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}\cos {\displaystyle \frac{C}{2}}}$$=8\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\sin {\displaystyle \frac{B}{2}}\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}\cos {\displaystyle \frac{A}{2}}\cos {\displaystyle \frac{B}{2}}\cos {\displaystyle \frac{C}{2}}$

が成り立つ．これと$\text{①}\text{，}$$\text{②}$から

$r=\text{(キ)}$

が得られる．したがって

$\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\sin {\displaystyle \frac{B}{2}}\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}\leqq \text{(ク)}$

を示せばよい．積を差に変える公式より

$\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\sin {\displaystyle \frac{B}{2}}$$=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(\cos {\displaystyle \frac{A+B}{2}}-\cos {\displaystyle \frac{A-B}{2}})$$={\displaystyle \frac{1}{2}}(\cos {\displaystyle \frac{A-B}{2}}-\cos {\displaystyle \frac{A+B}{2}})$

である．また

$\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}=\sin {\displaystyle \frac{\pi -(A+B)}{2}}$$=\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{A+B}{2}})$$=\cos {\displaystyle \frac{A+B}{2}}$

である．$\cos {\displaystyle \frac{A+B}{2}}$を$x$とおくと_(ケ)$x>0$であり

$\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\sin {\displaystyle \frac{B}{2}}\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}$$={\displaystyle \frac{1}{2}}(\cos {\displaystyle \frac{A-B}{2}}-\cos {\displaystyle \frac{A+B}{2}})\cos {\displaystyle \frac{A+B}{2}}$$={\displaystyle \frac{1}{2}}x(\cos {\displaystyle \frac{A-B}{2}}-x)$$\leqq$_(コ)$\underline{{\displaystyle \frac{1}{2}}x(1-x)\leqq \text{(ク)}}$

が得られる．

　以上から$R\geqq 2r$が示された．

設問

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を$R\text{，}$$\sin A\text{，}$$\sin B\text{，}$$\sin C$で表す適切な式を空欄(ア)〜(ウ)に記せ．答のみでよい．

(2)　下線部(エ)を実行せよ．

(3)　下線部(オ)を実行し，式$\text{④}$を導出せよ．

(4)　下線部(カ)を実行せよ．

(5)　$r$を$R\text{，}$$\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\text{，}$$\sin {\displaystyle \frac{B}{2}}\text{，}$$\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}$で表す適切な式を空欄(キ)に記せ．答のみでよい．

(6)　空欄(ク)に当てはまる適切な値を記せ．答のみでよい．

(7)　下線部(ケ)の理由を答えよ．

(8)　下線部(コ)の不等式を示せ．