2024　高知工科大学　後期

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　放物線$y=2x^2+4x-1$と$x$軸の$2$つの共有点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とするとき，線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　男子$6$人，女子$3$人が円形に並んで座るとき，女子$3$人が続いて並ぶ確率を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　$2$点$\mathrm{A}$$(a,b)\text{，}$$\mathrm{B}$$(5,1)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$2:3$に外分する点$\mathrm{C}$の座標が$(-3,4)$であるとき，点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　${\displaystyle \frac{1}{\sin \theta }}+{\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}=3$のとき，$\sin \theta +\cos \theta$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　${\log }_{2}3=a$とするとき，${\log }_2\sqrt[3]{18}$を$a$を用いて表せ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{100}}{\displaystyle \frac{1}{k^2+3k+2}}$を求めよ．ただし，答は既約分数で表すこと．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　$f(x)=x^2+3$$\text{（}x\leqq 0\text{）}$とおく．このとき，$f(x)$の逆関数$f^{-1}(x)$を求めよ．なお，$f^{-1}(x)$の定義域は求めなくてよい．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\cos }^{2}x\mathit{dx}$を求めよ．

【２】　$k$を定数とし，座標平面上で，方程式

$x^2+y^2+2kx-6ky+11k^2-2k-3=0$$\cdots \text{(＊)}$

の表す図形を考える．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$k=2$のとき，方程式(＊)は円を表す．この円の半径を求めよ．

(2)　方程式(＊)が円を表すような$k$の値の範囲を求めよ．

(3)　$k$が(2)で求めた範囲を動くとき，方程式(＊)で表される円を$C_k$とする．円$C_k$の半径が最大となるような$k$の値を求めよ．

(4)　$k$が(3)で求めた値をとるとき，直線$l\text{：}y=mx$が円$C_k$に接するような定数$m$の値を求めよ．

【３】　$a$を定数とする．座標平面上で，曲線$C_1\text{：}y=a{x}^2$と曲線$C_2\text{：}y=2\log x$について，次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は自然対数とする．

(1)　曲線$C_1$上の点$(t,a{t}^2)$における$C_1$の接線$l_1$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$C_2$上の点$(t,2\log t)$における$C_2$の接線$l_2$の方程式を求めよ．

(3)　$2$曲線$C_1\text{，}$$C_2$が共有点をもち，その共有点におけるそれらの接線が一致するとき，$a$の値を求めよ．

(4)　(3)のとき，$2$曲線$C_1\text{，}$$C_2$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　$x>0$のとき，$(x+{\displaystyle \frac{1}{x}})({\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{x}})$の最小値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　$a$を定数とする．関数$f(x)=x^3-a{x}^2+2ax$が$x=a$で極値をとるとき，$a$の値を求めよ．

【３】　$a$を$a>1$を満たす定数とする．座標平面上で，曲線$C_1\text{：}y=x^3+3a{x}^2$と曲線$C_2\text{：}y=3x^2$を考える．$C_1$の接線で傾きが$0$であり，原点を通らないものを$l$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を$a$を用いて表せ．

(2)　曲線$C_1$と直線$l$で囲まれた部分の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．

(3)　$2$曲線$C_1\text{，}$$C_2$の共有点の$x$座標をすべて求めよ．ただし，必要ならば$a$を用いてよい．

(4)　$2$曲線$C_1\text{，}$$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$S_1=4S_2$となる$a$の値を求めよ．