2024　高知工科大学　前期

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　$m$を定数とする．放物線$y=x^2-(m-1)x-m$が直線$y=x-3$と接しているとき，$m$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　$2024$の正の約数の個数を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　中心が点$(-3,4)$で，円$x^2+y^2=4$と外接する円の方程式を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，方程式

$\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta =\sqrt{2}$

を満たす$\theta$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　$5^{100}$の桁数を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　座標平面上において，ベクトル$\overrightarrow{a}=(5,12)$と垂直な単位ベクトルで，$x$成分が正のものを求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　$\alpha ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}i}{1+i}}$とするとき，${\alpha }^8$を$a+bi$$\text{（}a\text{，}$$b$は実数）の形で表せ．ただし，$i$は虚数単位である．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　曲線$y={\displaystyle \frac{3}{2}}x\sqrt{x}$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$の長さを求めよ．

【２】　$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を正の定数とする．座標空間内の$3$点$\mathrm{A}$$(p,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,q,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,r)$について$\mathrm{AB}=\sqrt{13}\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{5}\text{，}$$\mathrm{CA}=\sqrt{10}$が成り立っている．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を求めよ．

(2)　$\cos \mathrm{\angle CAB}$を求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．

(4)　原点$O$$(0,0,0)$から平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線を$\mathrm{OH}$とする．線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．

【３】　関数$f(x)$を

$f(x)=x\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}$

と定める．座標平面上で，曲線$y=f(x)$上の点$(-\pi ,f(-\pi ))$における接線を$l$とし，その方程式を$y=g(x)$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$g(x)$を求めよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }x\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}\mathit{dx}$を求めよ．

(4)　曲線$y=f(x)$の$0\leqq x\leqq \pi$の部分と直線$l\text{，}$および直線$x=\pi$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　大小$2$つのさいころを同時に投げるとき，出た目の積が素数とならない確率を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^3}x|x-2|\mathit{dx}$を求めよ．

【３】　座標平面上で，曲線$C\text{：}y=f(x)$は点$\mathrm{A}$$(1,-3)$を通り，その曲線上の各点$(x,y)$における接線の傾きは$3x^2-4$である．また，点$\mathrm{A}$における$C$の接線を$l$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$l$の方程式を求めよ．

(3)　$C$と$l$の共有点の$x$座標のうち，負であるものを求めよ．

(4)　$C$と$l$で囲まれた図形のうち，$x\leqq 0$の範囲にある部分の面積を求めよ．