2024　下関市立大　中期

・すでに$\mathrm{A}$が$2$勝しているとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{4}}$である．

・上記以外の場合，$\mathrm{A}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{2}{3}}$である．

なお，すべての対戦において，引き分けはないものとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　初めから$\mathrm{A}$が$2$連勝し，その後$\mathrm{B}$が$3$連勝する確率を求めよ．

(2)　初めから$3$回目の対戦で$\mathrm{A}$が$2$勝目を挙げ，かつ$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}$が優勝したとき，初めから$\mathrm{A}$が$2$連勝していた条件付き確率を求めよ．

$a_1=-1\text{，}$$a_{n+1}=-2a_n-6n-2$

(1)　$b_n=a_n+2n$で定まる数列$\{b_n\}$は等比数列であることを示せ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の項のうち，正であるものを順に並べてできる数列を$\{c_n\}$と定める．${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{c}_k$を求めよ．

　ただし，自然数$k$に対して$4^k\geqq k+3$が成り立つことを用いてよい．

(1)　$X$の期待値を求めよ．

(2)　$X-Y$の分散を求めよ．

(3)　$XY$の期待値を求めよ．