2024　広島市立大学　総合型選抜

【１】　$X$駅を出発し，$Y$駅を経由して，$Z$駅に到着する貨物列車がある．図１のように，貨物列車は先頭から順に$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}$の$7$両の貨車で編成されており，すべての貨車には横に並んだ$3$つの四角形で構成されるマークが付けられている．前$3$両の貨車$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$のマークは，それぞれ左中右の四角形が黒く塗りつぶされた■□□，□■□，□□■になっている．また，後ろ$4$両の貨車$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}$のマークは，それぞれ$2$つ以上の四角形が黒く塗りつぶされた□■■，■□■，■■□，■■■になっている．

　$X$駅では，以下の手順(1)，(2)，(3)に従って貨車にコンテナを積む．ただし，貨車$1$両につきコンテナは$1$台しか積めない．

(1)　後ろ$4$両の貨車$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}$のうち$0$両から$4$両を自由に選択してコンテナを積む．

(2)　後ろ$4$両を対象に，コンテナが積まれている貨車のマークを下記の方法で統合し，統合したマークを後ろ$4$両調査シート（図２左）に記入する．

(3)　(2)で記入した調査シートにおいて，$3$つの四角形のうち左が■であれば貨車$\mathrm{A}$に，中が■であれば貨車$\mathrm{B}$に，右が■であれば貨車$\mathrm{C}$にコンテナを積む．

例えば，図１の貨物列車は，手順(1)で後ろ$4$両のうち貨車$\mathrm{D}$と$\mathrm{G}$にコンテナが積まれ，手順(2)で統合したマーク■□□（図３左）より，マークの左のみ■である後ろ$4$両調査シートに従い，手順(3)で前$3$両の貨車$\mathrm{A}$のみにコンテナを積んだものである．また，手順(1)で後ろ$4$両の貨車のうち$1$両のみにコンテナを積むと，手順(2)で得られる後ろ$4$両調査シートのマークはコンテナを積んだ貨車のマークと一致する．例えば，図３右に示す，後ろ$4$両のうち貨車$\mathrm{E}$のみにコンテナを積んだときの後ろ$4$両調査シートのマーク例では，手順(3)で貨車$\mathrm{A}$と$\mathrm{C}$にコンテナを積むことになる．

　このとき，以下の問いに答えよ．

問１　全$7$両の貨物列車の積載状況を，コンテナを積んでいる貨車を$1\text{，}$積んでいない貨車を$0$とし，前$3$両と後ろ$4$両をハイフンで分けた$7$ビット列で表す．例えば，どの貨車もコンテナを積んでいない貨物列車の積載状況は$000‐0000$で表し，図１の貨物列車の積載状況は$100‐1001$で表す．これら$2$つの例を含め，$X$駅での正しい貨物列車の積載状況をすべて列挙せよ．

問２　$\mathrm{X}$駅では，手順(3)終了後，全$7$両を対象に，手順(2)で示した統合方法で統合したマークを全$7$両調査シート（図２右）に記入する．$\mathrm{X}$駅で正しくコンテナを積んだ場合，全$7$両調査シートのマークはどのようになるべきか説明せよ．

問３　$\mathrm{Y}$駅では，$1$台だけコンテナを下ろすか，$1$台だけコンテナを積むか，どちらかの作業を行う．$\mathrm{Z}$駅の駅員が，到着した貨物列車の積載状況のみから$\mathrm{Y}$駅でコンテナの積み下ろしが行われた貨車を特定するには，全$7$両調査シートをどのように用いればよいか説明せよ．また，図４(a)と(b)の貨物列車が$\mathrm{Z}$駅に到着した場合に，$\mathrm{Y}$駅でコンテナの積み下ろしが行われた貨車をそれぞれ答えよ．

問４　$\mathrm{Y}$駅において$2$両の貨車で積み下ろしが行われると，$\mathrm{Z}$駅の駅員が$\mathrm{Y}$駅での作業を特定できなくなる．このことを，例を挙げて説明せよ．

【２】　パラボラアンテナの形状は，図１のように，放物線に平行に入ってきた電波が，放物線で反射すると放物線の焦点に集まることを利用している．この進む向きを逆に考え，図２のように，懐中電灯の電球を放物線の焦点に置き，電球から出て反射鏡で反射した光が，平行にかつ透過板から同時に出ていくように，反射鏡の形状を設計したい．この焦点を$\mathrm{F}$$(0,1)$とした場合，反射鏡上の点$\mathrm{P}$$(x_0,y_0)$は，焦点$\mathrm{F}$からの距離と準線$y=-1$からの距離が等しいような点となる．以下の問いに答えよ．

問１　反射鏡の形状を表す曲線を$C$とする．$C$は点$\mathrm{P}$の軌跡として定まる．$C$の式を求めよ．

問２　点$\mathrm{F}$から出た光が点$\mathrm{P}$で反射した後，$y$軸に平行に進むことを示したい．点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$l$としたとき，次のことを示せ．

(1)　$y$軸と$l$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，$\mathrm{FP}=\mathrm{FQ}$を示せ．

(2)　反射の法則により，点$\mathrm{P}$への入射光と$l$がなす角$\alpha$と，点$\mathrm{P}$からの反射光と$l$がなす角$\beta$は等しい．このことを用いて，反射光が$y$軸に平行に進むことを示せ．

問３　点$\mathrm{F}$から出て反射鏡で反射した光は，どの光も同時に透過板を通過することを示したい．透過板を$y=k$$\text{（}k$は$k>1$を満たす定数）とし，点$\mathrm{P}$から透過板に下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$$(x_0,k)$とする．$\mathrm{FP}+\mathrm{PR}$は$x_0$によらず一定であることを示せ．

【３】　あみだくじとは，平行に引いた縦線の間に，いくつかの横線を水平に引いたはしご状の図で表されるくじをいう．横線は，隣接する縦線間にしか引かないこととし，縦線の同じ位置から異なる横線が引かれることはないものとする．縦線の上端から出発して線を下へたどって行き横線があれば必ず曲がることを続け，たどりついた縦線の下端がくじの結果を表す．あみだくじの上端には，左端から順に数字が割り当ててあり，上端の数字からたどり到達した下端には同じ数字を割り当てる．例えば，図１は，上端の数字$1\text{，}$$2\text{，}$$3$がそれぞれ下端の数字$1\text{，}$$2\text{，}$$3$にたどりつく縦線が$3$本のあみだくじの例である．これらのあみだくじは，上端の数字を左端から順に並べた数字列$(1,2,3)$を下端の数字を左端から順に並べた数字列$(3,2,1)$に並びかえている．以下の問いに答えよ．

問１　図１(b)のあみだくじは，上端の数字列$(1,2,3)$を下端の数字列$(3,2,1)$に並びかえる，横線の本数が最少のあみだくじの$1$つである．これ以外に，同じ横線の本数で同じ数字列の並びかえを実現するあみだくじをすべて描け．

問２　図２において，上端の数字列$(1,2,3,4)$を下端の数字列$(4,3,2,1)$に並びかえるように，破線で囲まれた領域内に$3$本の横線を追加したあみだくじを描け．

問３　上端の数字列$(1,2,3,4)$を下端の数字列$(4,3,2,1)$に並びかえる縦線が$4$本のあみだくじには，$6$本以上の横線があることを説明せよ．

問４　$n$を$2$以上の自然数とし，縦線が$n$本のあみだくじを考える．このとき，上端の数字列$(1,2,\cdots ,n-1,n)$を下端の数字列$(n,n-1,\cdots ,2,1)$に並びかえるあみだくじには，何本以上の横線が必要か説明せよ．

【４】問１　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を不等式$a\geqq b\geqq c$を満たす正の実数とする．このとき，長さがそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$である$3$つの線分で三角形をつくることができる条件を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表せ．また，その条件を$3$つの線分の長さの和$K$と$a$を用いて表せ．

問２　太さを無視できる長さ$L$のまっすぐな棒が$1$本ある．この棒の両端を除く異なる$2$か所に印をつけ，そこで棒を切断する．図１のように棒の一方の端から$2$か所の印までの距離を近い順に$x\text{，}$$y$としたとき，切断されてできた$3$本の棒で三角形をつくることができる条件を$x\text{，}$$y\text{，}$$L$を用いて表せ．

問３　問２の条件を満たす領域を$xy$平面上に図示せよ．