2024　尾道市立大学　後期

【１】　$a$は$0$でない実数とする．$2$次関数$f(x)=a{x}^2+2x+1$について，次の問いに答えなさい．

(1)　$y=f(x)$のグラフの頂点$\mathrm{A}$の座標を$a$を用いて表しなさい．

(2)　$a$が$0$を除くすべての実数値をとって変化するとき，頂点$\mathrm{A}$の軌跡の方程式を求めなさい．

(3)　原点$\mathrm{O}$に対して，線分$\mathrm{OA}$の長さの最小値とそれを与える$a$の値を求めなさい．

【２】　次の[A]，[B]のうちから，いずれか$1$つを選んで解答しなさい．

[A]　$4$桁の自然数$n$において，千の位の数を$a\text{，}$百の位の数を$b\text{，}$十の位の数を$c\text{，}$一の位の数を$d$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$m\text{，}$$q$を自然数，$r$を整数とし，$n=mq+r$とするとき，次の命題が成り立つことを証明しなさい．

命題$\text{「}n$が$m$の倍数ならば，$r$は$m$の倍数である」

(2)　$m\text{，}$$q$を自然数，$r$を整数とし，$n=mq+r$とするとき，次の命題が成り立つことを証明しなさい．

命題$\text{「}r$が$m$の倍数ならば，$n$は$m$の倍数である」

(3)　$n$を$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を用いて表しなさい．

(4)　$-a+b-c+d$が$11$の倍数ならば，$n$は$11$の倍数であることを証明しなさい．

【２】　次の[A]，[B]のうちから，いずれか$1$つを選んで解答しなさい．

[B]　次の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{B}$チームでゲームを行なう．$1$回のゲームにおいて，$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は${\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}$$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}$であり，引き分けはないものとする．このゲームを繰り返し行ない，どちらかが先に$3$勝した時点でそのチームの優勝とする．このとき，$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めなさい．

(2)　$\mathrm{A}$チーム，$\mathrm{B}$チーム，$\mathrm{C}$チームでゲームを行なう．$1$回のゲームにおいて，$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$\mathrm{C}$チームが勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{6}}$であり，引き分けはないものとする．このゲームを繰り返し行ない，いずれかのチームが先に$3$勝した時点でそのチームの優勝とする．このとき，$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．ただし，必要ならば

$0.301<{\log }_{10}2<0.302\text{，}$$0.477<{\log }_{10}3<0.478\text{，}$$0.845<{\log }_{10}7<0.846$

が成り立つことは証明なしに用いてよいとする．

(1)　$2^{78}$の桁数を求めなさい．

(2)　$2^{78}$と$3^{50}$ではどちらが大きいか，理由とともに答えなさい．

(3)　(2)で答えた大きい方の値を$X$とし，$Y=2^{78}+3^{50}$とする．このとき，$X$と$Y$の桁数は同じであるか否か，理由とともに答えなさい．また，$Y$の最高位の数を求めなさい．