2024　岡山県立大学　中期

【１】次の問いに答えよ．

〔1〕次の方程式の整数解をすべて求めよ．

$111x+13y=1$

【１】次の問いに答えよ．

〔2〕中心が点$(a,b,1)\text{，}$半径$5$の球面が$yz$平面と交わってできる円の半径が$3$で，$zx$平面と交わってできる円の半径が$\sqrt{21}$であるという．$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

【１】次の問いに答えよ．

〔3〕$i$を虚数単位とし，$z=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}$$w=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とするとき，${|z-w|}^2$の値を求めよ．

【２】　平面上の$3$つの異なる単位ベクトルを$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$とし，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$のなす角を$\theta$とする．ただし，$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$$=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}+1$が成り立つとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\alpha$$\text{（}0\leqq \alpha \leqq \pi \text{）}$とするとき，$\theta$を$\alpha$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

(3)　$\theta$の値を求めよ．

【３】　座標平面上において$2$つの曲線を$C_1\text{：}y=e^{-\frac{x}{k}}\text{，}$$C_2\text{：}y=e^{-x+1}$とする．ただし，$k$は定数で，$k>1$とする．次の問いに答えよ．

(1)　 $C_1$と$C_2$の共有点の座標を$k$で表せ．

(2)　$C_1$と$C_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S(k)$とする．$S(k)$を$k$で表せ．

(3)　$\underset{k\to \infty }{\lim }S(k)$を求めよ．必要ならば，$\underset{t\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{e^t-1}{t}}=1$を用いてよい．

【４】　座標平面上において曲線$y=x\sqrt{1-x^2}$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=x\sqrt{1-x^2}$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$の最大値を求めよ．

(2)　$C$と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_1$を求めよ．

(3)　$C$と$x$軸で囲まれた部分を，$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_2$を求めよ．また，$V_2$と(2)の$V_1$との大小関係を示せ．