2024　公立鳥取環境大学　前期

【１】　以下の問に答えよ．

(1)　$3$次方程式$x^3-x^2+3x-10=0$について，$x=2$が解であることを示せ．また，$x=2$の他には実数解をもたないことを示せ．

【１】　以下の問に答えよ．

(2)　$2$点$\mathrm{A}$$(1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,5)$について，条件$\mathrm{AP}=\mathrm{BP}$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．また，その軌跡と$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　以下の問に答えよ．

(3)　点$\mathrm{C}$$(6,3)$を通り，円$x^2+y^2=9$に接する直線の方程式を求めよ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\mathrm{\angle BOA}={\theta }_1\text{，}$$\mathrm{\angle COA}={\theta }_2$とする．辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{OC}$それぞれの長さを$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．頂点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に垂直な直線を引き，その直線と直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{D}$とする．同様に，頂点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{OA}$に垂直な直線を引き，その直線と直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{E}$とする．線分$\mathrm{OD}$の長さを$d\text{，}$線分$\mathrm{OE}$の長さを$e$とする．$\mathrm{\angle BOA}$と$\mathrm{\angle COA}$は鋭角であるとき，以下の問に答えよ．

【４】(1)　以下の数式について，$x>0$の範囲で，$x$が増えるにつれて式の値がどうなるか，A増える，B減る，Cそれ以外（増えたり減ったりする，一定値をとるなど）のいずれかをA，B，Cの中から一つ選び，記号で答えよ（ただし，同じ記号を繰り返し選んでもよい）．また，理由も簡潔に示すこと．

(ア)　${\displaystyle \frac{1}{x+1}}$$$

(イ)　$x^2-2x+5$

(ウ)　${\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{x}}$

【４】(2)　$n$が正の整数のとき，$\sqrt{n}$の値について以下の問に答えよ．

(ア)　$\sqrt{n}$が整数となる最小の$n$を求めよ．

(イ)　$\sqrt{n}$が無理数となる最小の$n$を求めよ．

(ウ)　$\sqrt{n}$が整数でも無理数でもない数になる$n$があれば，最小のものを求めよ．存在しない場合はその理由を簡潔に示すこと．