2024　和歌山県立医科大学　前期

$m={\displaystyle \frac{4x+6}{x^2+2x+3}}$

を考える．$m$が整数となる$x$とそのときの$m$を求めよ．

(2)　$k$を整数とし，三次方程式

$x^3+3x^2+x-3-k(x^2+2x+3)=0$

を考える．この方程式が整数解を少なくとも一つ持つ様な$k$を求めよ．

(1)　$a_1=3$のときの$a_3$と$a_4$を求めよ．また，$a_1=4$のときの$a_3$と$a_4$を求めよ．さらに，$a_1=5$のときの$a_3$と$a_4$を求めよ．

(2)　$a_1=3l$のとき，$a_1+a_2+\cdots +a_n=0$となる$n$を求めよ．ただし，$l$は自然数とする．

(3)　$a_1=3l-1$のとき，$a_1+a_2+\cdots +a_n=0$となる$n$を求めよ．ただし，$l$は自然数とする．

(4)　$a_1=3l-2$のとき，$a_1+a_2+\cdots +a_n=0$となる$n$を求めよ．ただし，$l$は自然数とする．

(2)　$0$でない複素数$z$に対して，$|z+{\displaystyle \frac{4}{z}}|$の最小値とその最小値をとる$z$を求めよ．

(1)　閉区間$[1.4,12]$および閉区間$[1,13.2]$に属する整数の個数をそれぞれ求めよ．

(2)　$a<b$のとき，閉区間$[a,b]$に属する整数の個数を，$[a]$および$[b]$を用いて表せ．

(3)　$a_1<b_1\text{，}$$a_2<b_2$とする．座標平面上の長方形$\{(x,y)|a_1\leqq x\leqq b_1\text{，}$$a_2\leqq y\leqq b_2\}$に属する格子点の個数を，$[a_1]$と$[b_1]$と$[a_2]$と$[b_2]$を用いて表せ．ただし，格子点とは座標平面上の点で$x$座標と$y$座標がともに整数であるものをいう．

(4)　正の実数$a$に対して，座標平面上の正方形$\{(x,y)|a\leqq x\leqq 2a\text{，}$$a\leqq y\leqq 2a\}$に属する格子点の個数を$N$とし，この正方形の面積を$S$とする．$a$を限りなく大きくしたときの${\displaystyle \frac{N}{S}}$の極限を求めよ．