2024　兵庫県立大学　中期

(1)　定数$a$の値を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$$\text{（}x>0\text{）}$のグラフの凹凸を調べ，変曲点を求めよ．

(3)　方程式$f(x)=0$の解の個数を求めよ．

(1)　${\log }_{\tan x}\sin x$を$X$の式で表せ．

(2)　${\log }_{\sin x}\cos x$$+{\log }_{\cos x}\tan x$$+{\log }_{\tan x}\sin x={\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとき，$\cos x$の値を求めよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表せ．

(2)　点$\mathrm{A}$が動くときの$2\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$の最大値を求めよ．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a<b\leqq 1$のとき，次の不等式を証明せよ．

${\displaystyle {\int }_{\pi a}^{\pi b}}{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}\mathit{dx}\leqq {\displaystyle \frac{b-a}{a}}$

(2)　$n$が正の整数のとき，次の不等式を証明せよ．

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{2}}^{{\displaystyle \frac{4n+1}{2}}\pi }}\left|{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}\right|\mathit{dx}$$\leqq {\displaystyle \sum _{k=0}^{4n-1}}{\displaystyle \frac{1}{k+1}}$

${\displaystyle \frac{a-b}{c-b}}=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)\text{，}$${\displaystyle \frac{b-c}{a-c}}=r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)$

${\displaystyle \frac{c-d}{a-d}}=r_3(\cos {\theta }_3+i\sin {\theta }_3)$

が成り立つとする．ただし，$r_1\text{，}$$r_2\text{，}$$r_3$は正の実数であり，${\theta }_1\text{，}$${\theta }_2\text{，}$${\theta }_3$は$\pi$より小さい正の実数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$|a-b|=|a-c|$であるとき${\displaystyle \frac{a-b}{c-b}}\cdot {\displaystyle \frac{a-c}{b-c}}$は正の実数であることを証明せよ．

(2)　${\displaystyle \frac{a-b}{c-b}}\cdot {\displaystyle \frac{c-d}{a-d}}$が負の実数であるとき${\displaystyle \frac{a-b}{d-b}}\cdot {\displaystyle \frac{d-c}{a-c}}$は正の実数であることを証明せよ．