2024　兵庫県立大学　前期国際商経学部

${\displaystyle \frac{1}{m^2}}+{\displaystyle \frac{1}{2n+1}}-{\displaystyle \frac{q}{3}}\leqq 0$

が成り立つための必要十分条件であることを示しなさい．

(2)　どのような自然数$l$に対しても，$l^2+l$は偶数であり平方数ではないことを示しなさい．ただし平方数とは，ある自然数の$2$乗で表される数のことである．

(3)　自然数$m\text{，}$$n\text{，}$$q\text{，}$$l$のうち

${\displaystyle \frac{1}{m^2}}+{\displaystyle \frac{1}{2n+1}}-{\displaystyle \frac{q}{3}}={\displaystyle \frac{1}{l^2+l}}$

を満たすのは，$m=2$かつ$n=5$かつ$q=1$の場合だけであることを示しなさい．

(1)　$a=1$のとき，$y=f(x)$のグラフが$y=g(x)$のグラフの接線となる実数$b$を求めなさい．

(2)　$a=1$とし，実数$b$を(1)で求めた値のうち小さい方として，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい．

(3)　$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフで囲まれた図形が，どのような実数$b$に対しても存在しないような$a$の値の範囲を求めなさい．ただし，上記の「囲まれた図形」とは，有限の面積のものを指す．

(1)　$n=2$として，$X_1=X_2$となる確率$P_1$と，$X_1<X_2$となる確率$P_2$をそれぞれ求めなさい．

(2)　$n=3$として，$X_1<X_2<X_3$となる確率$P_3$を求めなさい．

(3)　$n=6$として，$X_1{X}_2{X}_3$で表される$3$桁の数を$A$とし，$X_4{X}_5{X}_6$で表される$3$桁の数を$B$とする．つまり，

$A=100X_1+10X_2+X_3$

$B=100X_4+10X_5+X_6$

である．$X_1>X_2>X_3$かつ$X_4<X_5<X_6$が起こったときの$A<B$が起こる条件付き確率$P_4$を求めなさい．

【４】　点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$xy$平面上で点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$1$の円を$C$とする．円$C$上に点$\mathrm{P}$をとり，点$\mathrm{P}$における円$C$の接線を$l$とする．平面$\alpha$は，$xy$平面と直線$l$で交わり，$xy$平面となす角が$30\mathrm{°}$であり，$z$軸との交点の$z$座標が正であるとする．平面$\alpha$上の円で，半径が$3$で中心の$z$座標が正であり，点$\mathrm{P}$において直線$l$と接するものを$D$とする．以下の問に答えなさい．

(1)　平面$\alpha$に垂直なベクトル$\overrightarrow{n}=(a,b,\sqrt{3})$を考える．点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき，$a$と$b$が満たす関係式を求めなさい．

(2)　点$\mathrm{P}$の$x$座標と$y$座標がともに正で，それらが等しいとき，円$D$の中心の座標を求めなさい

(3)　点$\mathrm{P}$の円$C$上での位置によらず，円$C$上と円$D$上のすべての点は同じ球面の上にあることを示しなさい．

(4)　(3)の球面の方程式を求めなさい．