2024　大阪公立大学　後期

問１　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{3}}}\log (1+x^2)\mathit{dx}$を求めよ．

問２　等式

${\displaystyle {\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}}{\displaystyle \frac{\log (1+x^2)}{1+e^x}}\mathit{dx}={\displaystyle {\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}}{\displaystyle \frac{e^x\log (1+x^2)}{1+e^x}}\mathit{dx}$

が成り立つことを示せ．

問３　定積分${\displaystyle {\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}}{\displaystyle \frac{\log (1+x^2)}{1+e^x}}\mathit{dx}$を求めよ．

$\alpha =\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{15}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{15}}$

を考える．次の問いに答えよ．

問１　${\alpha }^5$を計算せよ．

問２　$1+{\alpha }^3+{\alpha }^6+{\alpha }^9+{\alpha }^{12}=0$を示せ．

問３　$(1-\alpha )(1-{\alpha }^4)+(1-{\alpha }^7)(1-{\alpha }^{13})$を計算せよ．

問１　$p_2$および$p_3$を求めよ．

問２　$p_4$を求めよ．

問３　$p_n$が最大となる$n$と，そのときの$p_n$を求めよ．

$J_{m,n}={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\cos }^{m}x{\sin }^{n}x\mathit{dx}$

とおく．ただし，${\cos }^{0}x={\sin }^{0}x=1$と定める．次の問いに答えよ．

問１　$J_{m,n}=J_{n,m}$を示せ．

問２　$m\geqq 2$のとき，$J_{m,n}={\displaystyle \frac{m-1}{m+n}}{J}_{m-2,n}$を示せ．

問３　整数$N$と奇数$p\text{，}$$q$を用いて$J_{2024,4}=2^N\cdot {\displaystyle \frac{q}{p}}\cdot \pi$と表すとき，$N$を求めよ．

$a_n=\{1+{\displaystyle \frac{1}{n}}f({\displaystyle \frac{1}{n}}\left)\right\}\{1+{\displaystyle \frac{1}{n}}f({\displaystyle \frac{2}{n}}\left)\right\}$$\cdot \cdots \cdot \{1+{\displaystyle \frac{1}{n}}f({\displaystyle \frac{n}{n}}\left)\right\}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．次の問いに答えよ．

問１　$t\geqq 0$に対して$t-{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2\leqq \log (1+t)\leqq t$を示せ．ただし，$\log$は自然対数とする．

問２　$f(x)=x$のとき，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

問３　$f(x)=\tan {\displaystyle \frac{\pi x}{4}}$のとき，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．