2024　大阪公立大学　中期MathJax

　$\alpha$を$0$でない実数とし，$xy$平面上の$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(3,-1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2\alpha ,\alpha )$を考える．さらに，$\mathrm{P}$$(\beta ,\gamma )$を以下の(ⅰ)，(ⅱ)がともに成り立つ$xy$平面上の点とする．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$は平行である．

(ⅱ)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$は垂直である．

ただし，零ベクトルは任意のベクトルと垂直であり，かつ平行であるものとみなす．このとき，以下の問いに答えよ．

問１　$\beta$および$\gamma$をそれぞれ$\alpha$の式で表せ．

問２　線分$\mathrm{OB}$の長さと線分$\mathrm{AP}$の長さが一致するときの$\alpha$の値を求めよ．

問３　$\alpha >2$とする．線分$\mathrm{OB}$の長さが線分$\mathrm{AP}$の長さの$2$倍であるときに，四角形$\mathrm{OAPB}$の面積を求めよ．

　$i$は虚数単位とし，$\theta$は実数として，複素数$z$を$z=\sqrt{3}(\cos \theta +i\sin \theta )$で与える．また，複素数$w$を$w={(z+1)}^2$で定め，$w$の実部を$u\text{，}$虚部を$v$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

問１　$w$が実数となる$z$をすべて求めよ．

問２　$\left|w\right|<1$となる$\theta$の範囲を$0\leqq \theta <2\pi$の範囲内で答えよ．

問３　$0\leqq \theta <2\pi$の範囲を$\theta$が動くとき，$u$のとり得る値の範囲を求めよ．

問４　$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲を$\theta$が動くとき，$v$のとり得る値の範囲を求めよ．

　$1$から$10$までの$10$枚の番号札が入っている袋がある．この袋の中身をよくかき混ぜた後，$2$枚の番号札を袋から取り出し，それらの番号の和を記録し，取り出した番号札を袋に戻す試行を$\mathrm{S}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

問１　試行$\mathrm{S}$を$1$回行うとき，記録されている数字が偶数である確率を求めよ．

問２　試行$\mathrm{S}$を$3$回続けて行うとき，$2$個以上の偶数が記録されている確率を求めよ．

問３　試行$\mathrm{S}$を$100$回続けて行うとき，$0\leqq k\leqq 100$を満たす整数$k$に対して，ちょうど$k$個の偶数が記録されている確率を$p_k$とおく．$1\leqq k\leqq 100$のとき，確率の比${\displaystyle \frac{p_k}{p_{k-1}}}$を$k$の既約分数式で表せ．

問４　問３で定めた$p_k$が最大となる$k$の値を求めよ．

　$\theta$を媒介変数とする次の曲線$C$を考える．

$C\text{：}x=\theta +\sin \theta \text{，}$$y=2+\cos \theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq a\text{）}$

ただし，$a$は正の実数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

問１　異なる$2$点$(0,3)\text{，}$$(a+\sin a,2+\cos a)$を通る直線を$l$とする．直線$l$と直線$x=a+\sin a$および$x$軸，$y$軸によって囲まれた四角形の面積$A(a)$を求めよ．

問２　曲線$C$と直線$x=a+\sin a$および$x$軸，$y$軸によって囲まれた図形の面積$B(a)$を求めよ．

問３　$A(a)\text{，}$$B(a)$はそれぞれ問１，問２で定めたものとする．$a$が$0<a\leqq 3\pi$の範囲を動くとき，$B(a)-A(a)$の最大値を求めよ．

問４　$A(a)\text{，}$$B(a)$はそれぞれ問１，問２で定めたものとし，$n$を自然数とする．このとき，$A(a)=B(a)$となる$a$は$0<a<n\pi$の範囲内にいくつあるか答えよ．

　$a$を$a>1$となる実数とし，関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{x}{a^x}}-{\displaystyle \frac{1}{a}}$

と定める．また，$f(x)$の最大値を$M(a)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

問１　$M(a)$を求めよ．

問２　$M(a)\geqq 0$を示せ．

問３　極限値$\underset{a\to e}{\lim }{\displaystyle \frac{M(a)}{{(a-e)}^2}}$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．なお，必要があれば次の等式を用いてもよい．

$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{x-\log (1+x)}{x^2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$