2024　大阪公立大学　前期

【１】　次の問いに答えよ．

問１　$x\geqq 0$に対して，$x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\leqq \sin x$が成り立つことを示せ．

問２　自然数$n$に対して，$a_n$を

$a_n=\sin {\displaystyle \frac{1}{n^2}}+\sin {\displaystyle \frac{2}{n^2}}$$+\sin {\displaystyle \frac{3}{n^2}}$$+\cdots +\sin {\displaystyle \frac{n}{n^2}}$

と定めるとき，数列$\{a_n\}$の極限を求めよ．

問３　$\alpha$を実数とする．自然数$n$に対して，$b_n$を

$b_n=n^{\alpha }{\displaystyle {\int }_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}}}{\displaystyle \frac{\sin x}{\sqrt{x}}}\mathit{dx}$

と定めるとき，数列$\{b_n\}$が収束するような$\alpha$の値の範囲とそのときの極限値を求めよ．

【２】　$b\text{，}$$c$は実数で$c>0$とする．$4$次方程式$x^4+b{x}^2+c^2=0$について，次の問いに答えよ．

問１　$4$個の相異なる虚数解をもつための$b$と$c$の条件を求めよ．

問２　問１で求めた条件の下で，二重根号を用いずに$4$個の解を表せ．

問３　問２で求めた$4$個の解が，複素数平面上の同一円周上にあるための$b$と$c$の条件を求めよ．

問４　問２で求めた$4$個の解が，複素数平面上の同一直線上に等間隔に並ぶための$b$と$c$の条件を求めよ．

【３】　固定された直線に円が接しながら滑ることなく回転するときに，円周上の定点が描く曲線をサイクロイドというが，その類似として，固定された半円に線分が接しながら滑ることなく回転するときに，線分上の定点が描く曲線を考える．すなわち，$xy$平面の単位円$x^2+y^2=1$の$y\geqq 0$の部分にある半円を$C$とし，長さ$\pi$の線分$\mathrm{AB}$が半円$C$に接しながら滑らずに動くとする．始めに点$\mathrm{A}$は$(1,0)\text{，}$点$\mathrm{B}$は$(1,\pi )$の位置にあり，点$\mathrm{B}$が$(-1,0)$に到達したときに動きを止めるものとし，この間に点$\mathrm{A}$が描く$xy$平面上の曲線を$L$とする．次の問いに答えよ．

問１　不定積分${\displaystyle \int }\theta \sin a\theta \mathit{d\theta }$と${\displaystyle \int }{\theta }^2\cos a\theta \mathit{d\theta }$をそれぞれ求めよ．ただし，$a$は正の定数とする．

問２　半円$C$と線分$\mathrm{AB}$の接点が$(\cos \theta ,\sin \theta )$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$のときの点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

問３　曲線$L$と$x$軸および直線$x=-1$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【４】　以下の条件を満たす実数$a\text{，}$$p\text{，}$$q$を考える．

$\{\begin{array}{l}5p^2+2p=q^2+5q\\ q=ap\\ pq\ne 0\end{array}$

次の問いに答えよ．

問１　$a\ne \pm \sqrt{5}$のとき，$p$と$q$をそれぞれ$a$を用いて表せ．

問２　$a$は有理数で，$a={\displaystyle \frac{m}{k}}$と既約分数で表示されているとする．ただし，$k$は自然数，$m$は整数とする．

１.　$5m-2k$が$5k^2-m^2$の倍数ならば，$p$と$q$はともに整数であることを証明せよ．

２.　逆に，$p$と$q$がともに整数ならば，$5m-2k$は$5k^2-m^2$の倍数であることを証明せよ．

３.　$p$と$q$がともに整数ならば，$121$は$5k^2-m^2$の倍数であることを証明せよ．

【１】　$a$を正の実数とする．二つの$x$の関数$y=2x^2-3x+1$$+(x-2)|x-1|$と$y=ax-a$のグラフで囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．次の問いに答えよ．

問１　関数$y=2x^2-3x+1$$+(x-2)|x-1|$のグラフをかけ．

問２　$S(a)$を$a$を用いて表せ．

問３　$a$がすべての正の実数を動くとき，$S(a)$の最小値を求めよ．

【２】　以下の条件を満たす実数$a\text{，}$$p\text{，}$$q$を考える．

$\{\begin{array}{l}5p^2+2p=q^2+5q\\ q=ap\\ pq\ne 0\end{array}$

次の問いに答えよ．

問１　$a=2$のとき， $p$と$q$を求めよ．

問２　$a\ne \pm \sqrt{5}$のとき，$p$と$q$をそれぞれ$a$を用いて表せ．

問３　$a$は有理数で，$a={\displaystyle \frac{m}{k}}$と既約分数で表示されているとする．ただし，$k$は自然数，$m$は整数とする．

１.　$5m-2k$が$5k^2-m^2$の倍数ならば，$p$と$q$はともに整数であることを証明せよ．

２.　逆に，$p$と$q$がともに整数ならば，$5m-2k$は$5k^2-m^2$の倍数であることを証明せよ．

【３】　$1$枚のカードに数が$1$つ書かれた数枚のカードからなる$1$セットをよくかき混ぜ，上下に重ねて束にする．この束から，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が$\mathrm{A}$から始めて交互に，カードを上から順に$1$枚ずつ取り出し，次の原則にしたがって$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がカードを保有するものとする．

[原則]　カードを取り出した人がそのカードを保有する．

(ケース１)　$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5$の数がそれぞれ$1$つずつ書かれた$5$枚のカードからなる$1$セットを用いて，原則にしたがってカードが無くなるまでカードを取り出し，保有する．

(ケース２)　$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5$の数がそれぞれ$1$つずつ書かれた$6$枚のカードからなる$1$セットを用いる．そして数$0$が書かれたカードが取り出されるまでは原則にしたがってカードを保有し，数$0$が書かれたカードが取り出されて保有された時，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$はその時点で保有しているカードを全て交換し，その後も原則にしたがってカードが無くなるまでカードを取り出し，保有する．

ケース１とケース２において，カードをすべて取り出した時に$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$ がそれぞれ保有しているカードに書かれた数の合計をそれぞれの合計点，最大の数をそれぞれの最高点と呼ぶことにする．次の問いに答えよ．

問１　ケース１で$\mathrm{A}$の最高点が$5$である確率を求めよ．

問２　ケース１で$\mathrm{A}$の合計点が$\mathrm{B}$の合計点より大きくなる確率を求めよ．

問３　ケース２で$\mathrm{A}$の最高点が$5$である確率を求めよ．

問４　ケース２で$\mathrm{A}$の合計点が$\mathrm{B}$の合計点より大きくなる確率を求めよ．

【４】　$0\leqq \theta \leqq 2\pi$を満たす実数$\theta$に対して，$xyz$空間内の点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を

$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta ,{\displaystyle \frac{1}{2}})\text{，}$$\mathrm{Q}(2\cos \theta +\sin \theta ,2\sin \theta -\cos \theta ,{\displaystyle \frac{3}{2}})$

と定め，

条件(A)　直線$\mathrm{PQ}$と$zx$平面が$1$つの点だけで交わる

を考える．次の問いに答えよ．

問１　条件(A)が成り立つような$\theta$の範囲を求めよ．

問２　条件(A)が成り立つものとし，その交点を$\mathrm{R}$$(p,0,q)$とする．

１.　$p$と$q$をそれぞれ$\theta$の式で表せ．

２.　$p^2-2q^2$は$\theta$によらない定数であることを示せ．