2024　滋賀県立大学　後期

【１】(1)　$1$つのさいころを$2$回投げて，出た目をそれぞれ$a\text{，}$$b$とする．このときベクトル$\overrightarrow{x}=(a,b)$の大きさが，$5$以上となる確率を求めよ．

【１】(2)　$x$を実数とし，$9^x+9^{-x}=7$を満たすとする．

(ア)　$3^x+3^{-x}$の値を求めよ．

(イ)　$x$の値を求めよ．

【１】(3)　極限$\underset{k\to 0}{\lim }{(1-2k)}^{\frac{1}{k}}$を求めよ．必要ならば$\underset{k\to 0}{\lim }{(1+k)}^{\frac{1}{k}}=e$であることは証明なしで用いてよい．

【１】(4)　関数$f(x)=e^x\cos x$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$の極値を求めよ．

【２】　実数$x$について，$\left[x\right]$を$x$以下の最大の整数とする．すなわち$\left[x\right]$は，$n\leqq x<n+1$を満たす整数$n$である．

(1)　$[-{\displaystyle \frac{2}{7}}]$を求めよ．

(2)　方程式$[{\displaystyle \frac{5}{3}}x]=2$を解け．

(3)　方程式$[x^2-6x+5]=0$を解け．

(4)　方程式$x^2-6\left[x\right]+5=0$を解け．

【３】　座標空間に，点$\mathrm{A}$$(1,2,-1)\text{，}$点$\mathrm{B}$$(1,3,0)\text{，}$点$\mathrm{C}$$(2,4,0)$がある．$\mathrm{A}$を中心とし，$\mathrm{B}$を通る球面を$S$とする．直線$\mathrm{BC}$と$S$の交点で，$\mathrm{B}$でない点を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{BD}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．

(1)　$S$の方程式を求めよ．

(2)　$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

(3)　$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

(4)　$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{BC}$に平行な直線と$S$との交点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．

　ただし，原点に近い方を$\mathrm{P}\text{，}$遠い方を$\mathrm{Q}$とする．

(ア)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(イ)　三角形$\mathrm{EPQ}$の面積$S_{\mathrm{EPQ}}$を求めよ．

【４】　曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{2x-1}{x-2}}$と直線$l_1\text{：}y=ax$を考える．

(1)　$C$の漸近線の方程式を求めよ．

(2)　$a$を正の実数とするとき，$C$と$l_1$は異なる$2$点で交わる．この$2$点の中点を$\mathrm{P}$とする．

(ア)　$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ．

(イ)　$a$がすべての正の実数値をとって変化するとき，$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めよ．

(3)　$C$上の点$\mathrm{A}(3,5)$における$C$の法線を$l_2$とする．

(ア)　$l_2$の方程式を求めよ．

(イ)　$l_2$と$C$の交点で，$\mathrm{A}$でない点を$\mathrm{B}$とする．$l_1$が$\mathrm{B}$を通るとき，$a$の値を求めよ．

(4)　$a=1$とする．$x\leqq 2$において，$C$と$l_1$および$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．