2024　名古屋市立大　中期薬学部

【１】　三角形$\mathrm{OAB}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，点$\mathrm{C}$と点$\mathrm{D}$を，それぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=k\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=l\overrightarrow{b}$となる点とする．ただし，$k>1\text{，}$$l>1$とする．また，線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{OE}\text{，}$$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{CD}$の中点を，それぞれ点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とするとき，これらの$3$点が，$1$つの直線上にあることを示せ．

(3)　${\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{PR}}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|}}$の値を，$k$と$l$を用いて表せ．

(編注）2010年　高知大学平成22年度【２】を改変して活用

【２】　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす$\theta$に対して，$\alpha =2(\cos \theta +i\sin \theta )$とする．ただし，$i$は虚数単位である．$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して，$z_n={\alpha }^n-2{\alpha }^{n-1}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とするとき，$z_n$を極形式で表せ．

(2)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とするとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}\left|z_k\right|>300$となる最小の$n$を求めよ．

(3)　$z_{800}$が実数となるような$\theta$の値の個数を求めよ．

(編注）熊本大学平成28年度 数学を改変して活用

【３】　座標平面上で，半径$a$の円が$x$軸上を，すべることなく正の方向に回転していくとき，円周上の$2$つの定点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の運動について考える．円は毎秒$1$ラジアンの速さで回転し，円の中心点$\mathrm{C}$の時刻$t$秒における座標$(x,y)$を$(at,a)$とする．また，$t=0$のとき，点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$に，点$\mathrm{Q}$は$y$軸上の点$(0,2a)$にあるとする．次の問いに答えよ．

(1)　時刻$t$における点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度を表すベクトル$\overrightarrow{v}$と，点$\mathrm{Q}$の速度を表すべクトル$\overrightarrow{w}$を，それぞれ求めよ．

(3)　時刻$t$における点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の速度のベクトルの内積$\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}$を求めよ．

(4)　時刻$t$が，$0\leqq t\leqq 2\pi$の範囲において，速さ$\left|\overrightarrow{v}\right|$の最大値と最小値を求めよ．

(5)　時刻$t={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$から$t={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$までの間に，点$\mathrm{P}$が動く道のり$L$を求めよ．

(編注）長崎大学平成30年度 数学を改変して活用