2024　名古屋市立大　後期

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，不等式$\sin x+\tan x>2x$を証明せよ．

(2)　半径$R$の円に内接する正$n$角形のすべての辺の長さの合計を$P_n$とし，その円に外接する正$n$角形のすべての辺の長さの合計を$Q_n$とするとき，以下の不等式を証明せよ．

${\displaystyle \frac{1}{2}}(P_n+Q_n)>2\pi R$

【２】　座標空間内の$4$点

$\mathrm{A}$$(-\sqrt{3}+3s,-2\sqrt{3}-2s,-1+\sqrt{3}s)$

$\mathrm{B}$$(2+3s,-2s,-2\sqrt{3}+\sqrt{3}s)$

$\mathrm{C}$$(2\sqrt{3}+3s,4\sqrt{3}-2s,2+\sqrt{3}s)$

$\mathrm{D}$$(t,-2t,3\sqrt{3}t)$

について次の問いに答えよ．ただし，$s\text{，}$$t$は実数であり，$s>0$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角$\theta$を求めよ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{BD}}\right|$かつ$\overrightarrow{\mathrm{DB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DC}}=16$であるとき，$s$と$t$の値を求めよ．

(3)　(2)の条件のもとで，四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

【３】　$1$から$3n$まで（ただし，$n\geqq 2\text{）}$の番号をつけた$3n$枚のカードから，同時に$n$枚を取り出す．取り出された$n$枚のカードに，$1\text{，}$$2\text{，}$$3$の番号がついたカードのうちいずれか$2$枚だけが含まれる事象を$A$とし，$2\text{，}$$3\text{，}$$4$の番号がついたカードのうちいずれか$2$枚だけが含まれる事象を$B$とする．事象$A$と$B$がともに起きているときに，取り出された$n$枚のカードの中に$2$の番号がついたカードが含まれている確率$p_n$を$n$を用いて表し，$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n$を求めよ．

(編注）横浜国立大学平成7年度 数学を改変して活用

【４】　$3$でも$5$でも割り切れない自然数を小さい順に並べてできた数列を$\{a_n\}$とする．すなわち，$a_1=1\text{，}$$a_2=2\text{，}$$a_3=4\text{，}$$a_4=7\text{，}\cdots$である．次の問いに答えよ．

(1)　すべての自然数$m$に対して$a_{m+k}=a_m+15$となる整数$k$を求めよ．

(2)　$a_{2024}$を求めよ．

(3)　$a_1$から$a_n$までの和を$S_n$とする．$S_n>2024$となる最小の自然数$n$を求めよ．

(編注）お茶の水女子大学平成23年度 数学を改変して活用

【１】　座標平面上に，半円$A\text{：}{x}^2+y^2=4$（ただし，$x>0\text{）}$と放物線$B\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{6}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}$がある．半円$A$上の点$\mathrm{P}$$(2\cos \theta ,2\sin \theta )$における半円$A$の接線を$l$とする．ただし，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　半円$A$と放物線$B$との共有点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　直線$l$が放物線$B$に接するとし，その接点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\theta$の値と点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(3)　(2)の条件のもとで，半円$A$と放物線$B$および直線$l$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

(編注）宮崎大学平成25年度 数学を改変して活用

【３】　$1$から$3n$まで（ただし，$n\geqq 2\text{）}$の番号をつけた$3n$枚のカードから，同時に$n$枚を取り出す．取り出された$n$枚のカードに，$1\text{，}$$2\text{，}$$3$の番号がついたカードのうちいずれか$2$枚だけが含まれる事象を$A$とし，$2\text{，}$$3\text{，}$$4$の番号がついたカードのうちいずれか$2$枚だけが含まれる事象を$B$とする．事象$A$と$B$がともに起きているときに，取り出された$n$枚のカードの中に$2$の番号がついたカードが含まれている確率$p_n$を$n$を用いて表せ．