2024　名古屋市立大　前期

【１】　正四面体$\mathrm{OABC}$に対して，平面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$が$5\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{PA}}-3\overrightarrow{\mathrm{PB}}$を満たしている．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$で表せ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の重心$\mathrm{G}$と点$\mathrm{P}$を通る直線が平面$\mathrm{OAC}$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}$で表せ．

(3)　線分$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{R}$に対して，$\mathrm{▵PQR}$が$\mathrm{PQ}$を斜辺とする直角三角形になるとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OA}}}$を求めよ．

【２】　$n$を自然数とする．$1$から$n$までの番号が$1$つずつ書かれた$n$枚のカードがある．次の問いに答えよ．

(1)　$n=18$とする．$18$枚のカードから$2$枚のカードを同時に取り出すとき，取り出した$2$枚のカードの番号の和が$3$の倍数になる確率を求めよ．

(2)　$n=20$とする．$20$枚のカードから$17$枚のカードを同時に取り出すとき，取り出した$17$枚のカードの番号の和が$3$の倍数になる確率を求めよ．

(3)　$m$を自然数とし，$n=3m+2$とする．$n$枚のカードから$n-3$枚のカードを同時に取り出すとき，取り出した$n-3$枚のカードの番号の和が$3$の倍数となる確率を$m$を用いて表せ．

【３】　$a_n=3^n-2^n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$で定められる数列$\{a_n\}$がある．次の問いに答えよ．

(1)　$n\geqq 2$のとき，$a_{n+4}-a_n$が$20$の倍数であることを示せ．

(2)　$a_n$を$20$で割った余りを$b_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$とする．$m$を自然数$\text{（}m=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$とするとき，$b_{4m-3}$を求めよ．

(3)　$a_n+4n$を$10$で割った余りを$c_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$とする．$c_1$から$c_{20}$を求めよ．

【４】　関数$f(x)=p\sin x\text{，}$$g(x)=q\cos x$$\text{（}p>0\text{，}$$q>0\text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq \pi$で曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の共有点の$x$座標を$\alpha$とする．$\alpha \leqq x\leqq \pi \text{，}$$y\geqq 0$において曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$と$x$軸で囲まれた領域の面積$S_1$を$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

(2)　$\pi \leqq x\leqq 2\pi$で曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の共有点の$x$座標を$\beta$とする．${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq \beta \text{，}$$y\leqq 0$において曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$と$x$軸で囲まれた領域の面積$S_2$を$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

(3)　$S_1:S_2=\sqrt{2}+1:\sqrt{2}-1$であるとき，(1)，(2)における$\alpha$と$\beta$を求めよ．

【２】　袋が$2$つあり，どちらにも赤玉が$2$個，青玉が$4$個，白玉が$4$個入っている．また，赤玉が$1$個と青玉が$1$個の合計$2$個の玉が入った箱$\mathrm{A}$と，玉が入っていない空の箱$\mathrm{B}$がある．この準備のもとで，次の操作１，操作２，操作３，操作４を順に$1$回ずつ行う．

操作１　$2$つの袋から玉を$1$個ずつ取り出し，この$2$個の玉を箱$\mathrm{B}$に入れる．

操作２　箱$\mathrm{B}$から玉を$1$個取り出し，玉の色を記録してから箱$\mathrm{B}$に戻す．

操作３　再び箱$\mathrm{B}$から玉を$1$個取り出し，玉の色を記録してから箱$\mathrm{B}$に戻す．

操作４　箱$\mathrm{A}$と箱$\mathrm{B}$から玉を$1$個ずつ取り出す．

次の問いに答えよ．

(1)　操作１を行ったとき，箱$\mathrm{B}$に赤玉が$1$個だけ入っている確率と，赤玉が$2$個入っている確率をそれぞれ求めよ．

(2)　操作３まで行って記録された玉の色がいずれも赤であったとき，箱$\mathrm{B}$に赤玉が$1$個だけ入っている確率と，赤玉が$2$個入っている確率をそれぞれ求めよ．

(3)　操作３まで行って記録された玉の色がいずれも赤であったとき，操作４で赤玉と青玉が$1$個ずつ取り出される確率を求めよ．

【３】　$n$を正の整数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$3^n-2^n$を$10$で割った余りを求めよ．

(2)　$3^n-2^n+4n$を$10$で割った余りを$r_n$とする．$r_n=7$となるような$n$を小さい順に並べて得られる数列を$\{a_m\}$$\text{（}m=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$とする．このとき，$a_{100}$を求めよ．

【４】　関数$f(x)=p\sin x\text{，}$$g(x)=q\cos x$$\text{（}p>0\text{，}$$q>0\text{）}$について，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の$0\leqq x\leqq \pi$および$\pi \leqq x\leqq 2\pi$における共有点の$x$座標をそれぞれ，$\alpha \text{，}$$\beta$とする．また，$\alpha \leqq x\leqq \pi \text{，}$$y\geqq 0$において曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$および$x$軸とで囲まれた領域の面積を$S_1\text{，}$${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq \beta \text{，}$$y\leqq 0$において曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$および$x$軸で囲まれた領域の面積を$S_2$とする． $S_1:S_2=\sqrt{2}+1:\sqrt{2}-1$であるときの，$\alpha$と$\beta$を求めよ．

【３B】　$-1<t<1$を満たす$t$に対して，$xy$平面上の直線$y=t$と楕円$C\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$の交点を$\mathrm{Q}$$(-s,t)\text{，}$$\mathrm{R}$$(s,t)$$\text{（}s>0\text{）}$とする．点$\mathrm{P}$$(0,1)$に対して，$\mathrm{▵PQR}$の面積を$S(t)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S(t)$を求めよ．また，$S(t)$の最大値とそのときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(2)　楕円$C$上の点$\mathrm{R}$における接線$l$と$x$軸の交点を$\mathrm{T}$とし，$\theta =\mathrm{\angle PRT}$とする．$S(t)$が最大値をとるとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

(3)　楕円$C$で囲まれる図形は直線$\mathrm{PR}$によって$2$つの部分に分割される．$S(t)$が最大値をとるとき，$2$つの部分のうち原点が属さない方の面積を求めよ．

【４C】　$f(x)={\cos }^{3}x+{\sin }^{3}x$$+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos x\sin x$$-{\displaystyle \frac{1}{2}}(\cos x+\sin x)$とし，$t=\cos x+\sin x$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$x$が実数全体を動くとき，$t$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$を求めよ．

(2)　$f(x)$を$t$の式として表せ．

(3)　$x$が実数全体を動くとき，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．