2024　愛知県立大学　前期

【１】　$n$を自然数とし，$i$を虚数単位とする．$\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}i$とし，その複素数平面上の点を$A(\alpha )$とおく．点$\mathrm{A}(\alpha )$を原点$\mathrm{O}$のまわりに${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ回転した点を$\mathrm{B}(\beta )$とおく．また，点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )$を原点$\mathrm{O}$のまわりに${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ回転した点をそれぞれ${\mathrm{A}}_1({\alpha }_1)\text{，}$${\mathrm{B}}_1({\beta }_1)$とおく．さらに，$n\geqq 2$に対して，点${\mathrm{A}}_{n-1}({\alpha }_{n-1})\text{，}$${\mathrm{B}}_{n-1}({\beta }_{n-1})$を原点$\mathrm{O}$のまわりに${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ回転した点をそれぞれ${\mathrm{A}}_n({\alpha }_n)\text{，}$${\mathrm{B}}_n({\beta }_n)$とおく．$\mathrm{▵}\mathrm{O}{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n$の重心を${\mathrm{G}}_n({\gamma }_n)$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{B}(\beta )$を表す複素数を求めよ．

(2)　点${\mathrm{G}}_n({\gamma }_n)$を表す複素数を求めよ．

(3)　$2$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$${\mathrm{G}}_{100}({\gamma }_{100})$を結ぶ線分$\mathrm{A}{\mathrm{G}}_{100}$を$3:1$に外分する点を表す複素数を求めよ．

(4)　$\mathrm{▵}\mathrm{O}{\mathrm{A}}_{100}{\mathrm{B}}_{100}$に外接する円の方程式を求めよ．

【２】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の$4$人が，以下のゲーム１を行い，「ゲーム１の勝者」を$1$人決める．続いて「ゲーム１の勝者」を除く$3$人が，以下のゲーム２を行い，「ゲーム２の勝者」を$1$人決める．

(ゲーム１)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$がこの順番で「さいころを投げる操作」を，誰かが$1$または$2$の目を出すまで繰り返す．$1$または$2$の目を最初に出した人を「ゲーム１の勝者」とする．

(ゲーム２)「ゲーム１の勝者」を除く残りの$3$人が，順番に「さいころを投げる操作」を，誰かが$1\text{，}$$2\text{，}$$3$のいずれかの目を出すまで繰り返す．$1\text{，}$$2\text{，}$$3$のいずれかの目を最初に出した人を「ゲーム２の勝者」とする．ただし，$\mathrm{A}$が「ゲーム１の勝者」の場合は$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$がこの順番で，$\mathrm{B}$が「ゲーム１の勝者」の場合は$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$がこの順番で，$\mathrm{C}$が「ゲーム１の勝者」の場合は$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{D}$がこの順番で，$\mathrm{D}$が「ゲーム１の勝者」の場合は$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がこの順番で，それぞれ「さいころを投げる操作」を繰り返すものとする．

ゲーム１とゲーム２において「さいころを投げる操作」とは，$1$人が$1$個のさいころを$1$回投げることを指す．

　このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　ゲーム１とゲーム２を合わせて，ちょうど$5$回の「さいころを投げる操作」で「ゲーム２の勝者」が決まる確率を求めよ．

(2)　ゲーム１とゲーム２を合わせて，ちょうど$10$回の「さいころを投げる操作」で「ゲーム２の勝者」が$\mathrm{C}$に決まる確率を求めよ．

(3)　ゲーム１とゲーム２を合わせて，ちょうど$10$回の「さいころを投げる操作」で「ゲーム２の勝者」が$\mathrm{C}$に決まったとき，$\mathrm{A}$が「ゲーム１の勝者」となる条件付き確率を求めよ．

【３】　$n$を自然数とし，媒介変数$t$$(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{2\pi }{n+2}})$を用いて

$x_n=(n+1)\cos t+\cos ((n+1)t)$

$y_n=(n+1)\sin t-\sin ((n+1)t)$

で表される曲線を$C_n$とする．また，

$S_n={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{2\pi }{n+2}}}(x_n{\displaystyle \frac{d{y}_n}{\mathit{dt}}}-y_n{\displaystyle \frac{d{x}_n}{\mathit{dt}}})\mathit{dt}$

とし，$L_n$を$C_n$の長さとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\mathit{d}{x}_n}{\mathit{dt}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{d{y}_n}{\mathit{dt}}}$を求めよ．

(2)　$S_n$を求めよ．

(3)　$L_n$を求めよ．

(4)　$a_n={\displaystyle \frac{S_1{S}_2\cdots S_n}{n!L_1{L}_2\cdots L_n}}$とするとき，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$の収束，発散を調べ，収束するときはその和を求めよ．