2024　静岡県立大学　前期

【１】　教卓の前に$12$席の座席が横一列に並んでいる．生徒$\mathrm{A}\text{，}$生徒$\mathrm{B}\text{，}$生徒$\mathrm{C}\text{，}$生徒$\mathrm{D}\text{，}$生徒$\mathrm{E}$の$5$人にそれぞれ$1$席ずつ座席を割り当てるとき，次の問に答えよ．

(1)　座席を割り当てる方法は何通りあるか．

(2)　生徒$\mathrm{A}$に割り当てられた座席と生徒$\mathrm{B}$に割り当てられた座席が隣り合うように座席を割り当てる方法は何通りあるか．

(3)　生徒に割り当てられたどの座席も隣り合わないように座席を割り当てる方法は何通りあるか．

【２】　$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を実数とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq \pi$とする．関数$y=-\sin x+\sqrt{3}\cos x$が最大値をとるときの$x$の値を求めよ．

(2)　関数$y=p{\sin }^{2}x+q\sin x\cos x+r{\cos }^{2}x$を，$\sin 2x\text{，}$$\cos 2x$を用いて表すと，$y=A\sin 2x+B\cos 2x+C$となる$\text{（}A\text{，}$$B\text{，}$$C$は実数）．$A\text{，}$$B\text{，}$$C$を$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を用いて表せ．

(3)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．関数$y=p{\sin }^{2}x$$-\sin x\cos x+r{\cos }^{2}x$が最大値をとるときの$x$の値を求めよ．

【３】　平面上に$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問に答えよ．

(1)　等式$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}={\displaystyle \frac{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|-{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2}{2}}$を証明せよ．

(2)　$\left|\overrightarrow{a}\right|=5\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=6\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=7$のとき，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=3\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=-12\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=-7$のとき，$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|$の値を求めよ．

【４】　$xy$平面において，$\theta$を媒介変数として

$x=2\cos \theta +5\text{，}$$y=3\sin \theta$$\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$

で表される曲線を$C$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　曲線$C$について，$x$と$y$の関係式を求めよ．

(2)　曲線$C$の$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$に対応する点における接線の方程式を求めよ．

(3)　曲線$C$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．