2024　岐阜薬科大学　中期MathJax

【１】　$a$は$a>1$を満たす実数とし，$f(x)=|a^{2x}-6a^x+5|$とする．

(1)　$a=2$のとき，不等式$f(x)\geqq 3$を解け．

(2)　$1\leqq x\leqq 2$において常に$f(x)\geqq 3$であるような，$a$の値の範囲を求めよ．

【２】　自然数$n$に対して，多項式$P_n(x)\text{，}$$Q_n(x)$を次のように定める．

$P_1(x)=x\text{，}$$Q_1(x)=1\text{，}$$P_{n+1}(x)=x{P}_n(x)-Q_n(x)\text{，}$$Q_{n+1}(x)=P_n(x)+x{Q}_n(x)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$P_2(x)\text{，}$$P_3(x)\text{，}$$P_4(x)$および$Q_2(x)\text{，}$$Q_3(x)\text{，}$$Q_4(x)$を求めよ．

(2)　 $i$は虚数単位とする．$P_n(x)+i{Q}_n(x)={(x+i)}^n$を証明せよ．

(3)　$n\geqq 2$のとき，$x={\displaystyle \frac{1}{\tan {\displaystyle \frac{\pi }{2n}}}}$は方程式$P_n(x)=0$の解であることを証明せよ．

【３】　ある工場では，製品$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{Y}$を製造している．それらを製造するために必要な原料は$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$種類で，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の在庫は十分にあるものとする．また，$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{Y}$を$1\mathrm{kg}$製造するために必要な原料の量と，$1$か月間にこの工場で使用できる原料の最大量は，右の表の通りである．

(1)　ある月の$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{Y}$$1\mathrm{kg}$あたりの利益は，それぞれ$5$万円，$3$万円である．この月に最大の利益を得るには，$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{Y}$をそれぞれ何$\mathrm{kg}$製造すればよいか．また，このときの利益はいくらか．

(2)　$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{Y}$$1\mathrm{kg}$あたりの利益は，月ごとに変動する．ある月の$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{Y}$$1\mathrm{kg}$あたりの利益をそれぞれ$p$万円，$q$万円とする．ただし，$p\text{，}$$q$は$0$以上の実数である．最大の利益を得るように$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{Y}$を製造するとき，得られる利益が$300$万円以上となるような点$(p,q)$の範囲を，$pq$平面上に図示せよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{2}}}\sqrt{2-x^2}\mathit{dx}$および${\displaystyle {\int }_1^{\sqrt{2}}}\sqrt{2-x^2}\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　円$x^2+{(y-1)}^2=2$で囲まれた図形が$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【５】　右図のように，直方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$と，$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{H}$を頂点とする四面体$P$がある．次の条件(a)，(b)を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(a)　$\mathrm{AB}<\mathrm{AD}<\mathrm{AE}$

(b)　四面体$P$の各辺の長さは，いずれも$1$桁の整数である．

(1)　四面体$P$の$6$辺の長さの和の最大値を求めよ．また，そのときの四面体$P$の体積を求めよ．

(2)　四面体$P$の$6$辺の長さの和の最小値を求めよ．また，そのときの四面体$P$の体積を求めよ．

《編注》図は原文通り