2024　公立諏訪東京理科大学　推薦

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{7+i}{5-5i}}={\displaystyle \frac{5+ai}{b-i}}$をみたす実数$a\text{，}$$b$を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{-2}\text{，}$$2^{{\log }_{2}5}\text{，}$$3$の大きさの順を不等式で表せ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　${\displaystyle \frac{3}{3-\sqrt{3}}}$の整数部分を$x\text{，}$小数部分を$y$とするとき，$2x^2-2y^2-4x-4y$の値を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{4}{5}}\text{，}$$\cos \beta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\text{，}$$\theta =\alpha +\beta$のとき，$\tan \theta$のとりうる値をすべて求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(2)　$3x^4+10x^3-8x^2-26x+21$を因数分解せよ．

【３】　座標平面上の曲線$y=x^2-kx$を考える．ここで，$k$は$0<k<3$をみたす定数とし，曲線と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S_1\text{，}$曲線と直線$x=3$と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$S_1$の値を求めよ．

(2)　$S_1=S_2$となる$k$の値を求めよ．

(3)　$S=S_1+S_2$とするとき，$S$の最小値を求めよ．

【４】　$3$つの不等式$y\leqq -2x+7\text{，}$$y\leqq 2x-1\text{，}$$y\geqq 1$で定められる座標平面上の領域を$A$とする．点$(x,y)$が領域$A$内を動くとき，以下の問いに答えよ．

(1)　領域$A$の面積を求めよ．

(2)　$5x+y$の最大値と最小値を求めよ．

(3)　$\sqrt{x^2+y^2}$の最大値と最小値を求めよ．

(4)　$x^2+y^2-6x$がとる値の範囲を求めよ．