2024　公立諏訪東京理科大学　前期

【１】　座標平面上において，不等式${(x-1)}^2+y^2\leqq 4$と不等式${(x+1)}^2+y^2\leqq 4$で表される領域をそれぞれ$A\text{，}$$B$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　領域$A$と領域$B$が重なる部分の$y$座標の範囲を求めよ．

(2)　領域$A$と領域$B$が重なる部分の面積を求めよ．

(3)　領域$A$と領域$B$が重なる部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【２】　各項が正の数である数列$\{a_n\}$に対して，数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．ここで，$a_n$と$S_n$は次をみたす．

$S_n={\displaystyle \frac{1}{2}}(a_n+{\displaystyle \frac{1}{a_n}})\text{，}$$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1$を求めよ．

(2)　$b_n={S_n}^2$とするとき数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．ただし，必要であるならば$n\geqq 2$のとき，$a_n=S_n-S_{n-1}$であることを証明なしに利用してもよい．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【３】　$f(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}{x}^2$とし，座標平面上において曲線$y=f(x)$上の$x$座標が正である点$\mathrm{P}$$(p,f(p))$における接線を$l\text{，}$点$\mathrm{P}$で$l$と直交する直線を$m$とする．また，$l$と$x$軸の正の向きとのなす角を${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　$l$の方程式を求めよ．

(3)　$m$の方程式を求めよ．

(4)　$m$上に中心があり，$x$軸に接し点$\mathrm{P}$を通る$2$つの円を考える．そのうち，中心の$x$座標が大きい方の円を円$B$とする．このとき，円$B$の中心の座標と半径を求めよ．

(5)　(4)で定義した円$B$において$x$軸との接点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，曲線$y=f(x)\text{，}$$x$軸，短い方の孤$\mathrm{PQ}$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【４】　$10$円硬貨，$50$円硬貨，$100$円硬貨がそれぞれ十分にある．この中から何枚かを取り出して，その合計をいくらかにする．ただし，$10$円硬貨，$50$円硬貨，$100$円硬貨のうち，使わない種類の硬貨があってもよいとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　合計金額が$1000$円となり，その中に$100$円硬貨が$1$枚だけ含まれる場合は何通りあるか求めよ．

(2)　合計金額が$1000$円となる場合は何通りあるか求めよ．

(3)　合計金額が$10000$円となる場合は何通りあるか求めよ．

(4)　$10$円硬貨，$50$円硬貨，$100$円硬貨に加え，$500$円硬貨も十分にあるとき，合計金額が$1000$円となる場合は何通りあるか求めよ．