2024　公立小松大　前期

【１】　等比数列$2,4,8,\cdots$を$\{a_n\}$とし，等差数列$5,8,11,\cdots$を$\{b_n\}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\{a_n\}$と$\{b_n\}$のそれぞれの一般項を求め

${\displaystyle \sum _{n=1}^9}{a}_n$と${\displaystyle \sum _{n=1}^9}{b}_n$

の値を求めよ．

(2)　自然数$l$に対し，数$a_{2l+1}$は数列$\{b_n\}$中に現れることを示せ．

(3)　$\{a_n\}$の項のうち$\{b_n\}$の項でもあるものを，値が小さいものから順に並べてできる数列を$\{c_n\}$とおく．

${\displaystyle \sum _{n=1}^4}{c}_n$

の値を求めよ．

【２】　ベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=6\text{，}$$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|=2$をみたし，また，$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$のなす角は$120\mathrm{°}$であるとする．次の問いに答えよ．

(1)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の大きさ，および内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

(2)　$|t\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|$の値が最小となるような実数$t$の値と，その最小値を求めよ．

【３】　$2$つの関数

$f(x)=e^{-kx}\cos ax\text{，}$$g(x)=e^{-kx}\sin ax$

について，次の問いに答えよ．ここで，$k$と$a$は正の定数とする．

(1)　$f(x)$と$g(x)$それぞれの導関数を求めよ．

(2)　$g(x)$の不定積分を求めよ．

(3)　$\underset{M\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^M}g(x)\mathit{dx}$を$k$と$a$で表せ．

【４】　曲線$y={(x^2-1)}^2$上の点$(t,{(t^2-1)}^2)$における接線が$y$軸と交わる点の$y$座標を$f(t)$と表し，$t$の関数と考える．次の問いに答えよ．

(1)　$f(t)$を求めよ．また，その極値を調べ増減表を書け．

(2)　曲線$y={(x^2-1)}^2$に点$(0,{\displaystyle \frac{5}{4}})$からひける接線は何本あるか．