2024　富山県立大学　推薦工,情報工学部

【１】　$p$を整数とし，整式$f(x)=x^3-(p-1)x^2-3x+p+1$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を$x-1$で割ったときの商$g(x)$を求めよ．

(2)　方程式$f(x)=0$の解がすべて整数であるとき，$p$の値をすべて求めよ．また，それぞれの$p$の値に対する$f(x)=0$の解をすべて求めよ．

【２】　半径$1$の外接円をもつ$\mathrm{▵ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．また，$k$を実数とし，$\mathrm{▵ABC}$の重心$\mathrm{G}$は$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=k\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$k$を用いて表せ．

(2)　内臓$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$k$を用いて表せ．

(3)　$k={\displaystyle \frac{1}{12}}$のとき，辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

【３】　$n$を自然数とする．$n$次の整式で表された関数$f(x)$が，すべての$x$の値について，$f(x)+3x{f}^{\prime }(x)=10x^3-14x^2+3$の関係を満たす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の極値を求め，$-2\leqq x\leqq 3$における$y=|f(x)|$のグラフの概形をかけ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_{-2}^3}|f(x)|\mathit{dx}$を求めよ．