2024　三条市立大　前期

【１】　図のように，一辺の長さ$a$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．点$\mathrm{A}$から底面$\mathrm{BCD}$におろした垂線の足を点$\mathrm{H}\text{，}$点$\mathrm{H}$から辺$\mathrm{BC}$におろした垂線の足を点$\mathrm{P}$とする．正四面体$\mathrm{ABCD}$は外側の球$B_1$に内接している（正四面体$\mathrm{ABCD}$が点$\mathrm{A}\text{，}$点$\mathrm{B}\text{，}$点$\mathrm{C}\text{，}$点$\mathrm{D}$の$4$点で内接）．また，内側の球$B_2$は正四面体$\mathrm{ABCD}$に内接している（正四面体$\mathrm{ABCD}$の$4$つの正三角形の面と内接）．この球$B_1$の中心点$\mathrm{O}$と球$B_2$の中心点${\mathrm{O}}^{\prime }$は，いずれも$\mathrm{AH}$上にある．このとき次の問いに答えよ．円周率は$\pi$を使用せよ．

(1)　外側の球$B_1$の半径を求めよ．

(2)　内側の球$B_2$の半径を求めよ．

(3)　中心点$\mathrm{O}$と中心点${\mathrm{O}}^{\prime }$の関係を述べよ．

【２】　点$\mathrm{O}(0,0,0)$を原点とする空間に，点$\mathrm{A}(1,-1,2)$を中心とする半径$3$の球面$S$と，点$\mathrm{B}(0,-2,-3)$を通り$\overrightarrow{v}=(1,1,2)$に平行な直線$l$がある．

(1)　球面$S$と直線$l$の$2$つの交点$\mathrm{C}$および$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

(2)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を含む平面$P$と球面$S$の交線が作る円の半径を求めよ．

【３】　直線$l\text{：}y=-{\displaystyle \frac{b}{a}}x$と直線$m\text{：}y=b$と直線$n\text{：}x=a$とで囲まれた三角形について次の問いに答えよ．ここに，$a>0\text{，}$$b>0$である．

(1)　三角形の外接円の方程式を求めよ．

(2)　右図に示す直線$m$と三角形の外接円で囲まれた半月型の面積$S_1$を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

(3)　右図に示す直線$n$と三角形の外接円で囲まれた半月型の面積$S_2$を$y$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．