2024　横浜市立大　前期

【１】　以下の各問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(1)　$a$を$0$ではない実数とします．曲線$y=a{x}^2+2ax+a+1$と直線$y=ax+a$が接するとき，$a$の値を求めなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(2)　球$x^2+y^2+z^2-2x+4y+6z=35$と平面$x+2y+3z=2$の共通部分である円の面積を求めなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(3)　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$C\text{：}4x^2+y^2={(x^2+y^2)}^2$の上を点$\mathrm{P}$$(x,y)$が動いているとき，点$\mathrm{P}$$(x,y)$の$y$座標を最大にするような線分$\mathrm{OP}$の長さを求めなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(4)　数列

${\displaystyle \frac{1}{1}},{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{2}{1}},{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{2}{2}},{\displaystyle \frac{3}{1}},{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{4}{1}},{\displaystyle \frac{1}{5}},{\displaystyle \frac{2}{4}},{\displaystyle \frac{3}{3}},{\displaystyle \frac{4}{2}},{\displaystyle \frac{5}{1}},\cdots$

の左から第$n$番目に出現する項を第$n$項と呼ぶことにします．たとえば，第$4$項は${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$第$8$項は${\displaystyle \frac{2}{3}}$となります．このとき，第$200$項を求めなさい．

【２】

${\displaystyle \frac{1}{\sin \theta }}+{\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}=\sqrt{3}$$\cdots \text{(条件}\mathrm{A}\text{)}$

が成り立つとき，次の各問いに答えなさい．

(1)　$\sin \theta \cos \theta$の値を求めなさい．

(2)　${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta +{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2\theta$の値を求めなさい．

(3)　$\text{(条件}\mathrm{A}\text{)}$に加えて，さらに$-360\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 360\mathrm{°}$かつ$\sin \theta <\cos \theta$をみたす異なる$\theta$の個数を求めなさい．

【３】　$1$から$9$までの数字を書いたカードが$9$枚あります．このカードを用いた操作について，次の各問いに答えなさい．ただし，各カードに書かれている数字は$1$つだけであり，異なるカードに書かれている数字は異なるものとします．

(1)　$9$枚のカードを$1$枚ずつ$9$人に配り，カードの数字をおぼえてから$9$枚の封筒を用意し，それぞれの封筒に$1$枚ずつカードを入れます．封筒に入れたカードの数を読みとることはできません．この封筒をランダムに$9$人に$1$つずつ再配布します．$9$人のうち，ちょうど$5$人が元のカードを手にする確率を求めなさい．

(2)　$9$枚のカードからランダムに$3$枚を選びます．このように選ばれたカードの書かれた数字の大きい順に$x\text{，}$$y\text{，}$$z$とします．$x-y=y-z$となる場合の確率を求めなさい．

(3)　左から順に$a_1\text{，}$$a_2\text{，}\cdots \text{，}$$a_9$とラベルがつけられている箱に$9$枚のカードをランダムに入れます．ただし，ひとつの箱に入るカードは$1$枚だけです．箱$a_i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$9\text{）}$の中にあるカードの数字を，箱$a_i$それぞれに割り当てられるものとして，その数字で$a_i$の大小を考えることにしました．たとえば，箱$a_1$にカード$3$が入り，箱$a_5$にカード$1$が入っているときには$a_1>a_5$であるなどということにします．

　いま，$a_i$の大小関係が条件

・$a_1<a_2<a_3<a_4$

・$a_6<a_5<a_4$

・$a_6<a_7<a_8<a_9$

をみたすとき，このような関係となるカードの並び方は何通りありますか．

【４】　以下の各問いに答えなさい．

(1)　関数$\tan x$の導関数を求めなさい．

(2)　関数${\displaystyle \frac{1}{x\sin x+\cos x}}$の導関数を求めなさい．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{x^2}{{(x\sin x+\cos x)}^2}}\mathit{dx}$を求めなさい．

【５】　標準偏差が$10$の母集団から無作為に大きさ$n$の標本を抽出します．このとき，以下の各問いに答えなさい．

(1)　標本平均の標準偏差を$n$を用いて表しなさい．

(2)　$n=100$とし，標本平均が$5$であったとします．$100$を十分に大きい数として，母集団の平均の信頼度$95\mathrm{\%}$での信頼区間を求めなさい．

(3)　$n$を十分に大きい自然数とします．母集団の平均の信頼度$95\mathrm{\%}$での信頼区間の長さが$1$以下となる$n$の最小値を求めなさい．

《編注》正規分布表が添付されている．