2024　東京都立大　前期

【１】　以下の問いに答えなさい．ただし，$\log$は自然対数とする．

(1)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x^2}}$$\text{（}x>0\text{）}$の増減を調べなさい．また，そのグラフの変曲点を求めなさい．

(2)　$3$以上の整数$n$に対して，積分${\displaystyle {\int }_2^n}{\displaystyle \frac{\log x}{x^2}}\mathit{dx}$の値を求めなさい．

(3)　$3$以上の整数$n$に対して，次の不等式が成り立つことを示しなさい．

${\displaystyle \sum _{k=3}^n}{\displaystyle \frac{\log k}{k^2}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}(1+\log 2)$

ただし，自然対数の底$e$が$2<e<3$をみたすことを用いてよい．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OP}$を引く．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．

$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=4\text{，}$

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-1\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=-4\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=1$

が成り立つとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表しなさい．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の大きさを求めなさい．

【３】　$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$の番号がついた玉が$1$個ずつあり，これらが$1$つの袋に入っている．机の上には$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$の番号がついたカードが$1$枚ずつ置かれている．袋から玉を$1$個取り出し，ついている番号を確認して袋に戻し，もし同じ番号のカードが机の上に残っていればそのカードを取り除く．この操作を繰り返す．なお，すべてのカードが取り除かれても，操作は継続するものとする．以下の問いに答えなさい．

(1)　操作を$3$回終えたとき，カードが$3$枚残っている確率を求めなさい．

(2)　操作を$3$回終えたとき，$1$の番号のカードが残っていない確率を求めなさい．

(3)　$n$を$2$以上の整数とする．操作を$n$回終えたとき，カードがちょうど$2$枚残っている確率を求めなさい．

(4)　ちょうど$4$回目の操作でカードが取り除かれて$1$の番号のカードだけが残る確率を求めなさい．

【１】　正の整数$l\text{，}$$m\text{，}$$n$が関係式$l^2+m^2=n^2$をみたすとする．このとき以下の問いに答えなさい．

(1)　正の整数$k$に対し，$k^2$を$4$で割った余りは$0$か$1$のいずれかになることを示しなさい．

(2)　$l$が奇数ならば$m$が偶数であることを，背理法を用いて示しなさい．

(3)　$l$が奇数ならば$m$は$4$で割り切れることを示しなさい．

【２】　$R$を正の実数とする．複素数平面上で，点$a$を中心とする半径$R$の円$C$を考え，$0<|z-a|<R$をみたす点$z$をとる．$a$と$z$を結ぶ直線を$l$とし，$z$を通り$l$に直交する直線と円$C$の交点を$p\text{，}$$q$とする．さらに点$p\text{，}$$q$における$C$の接線と$l$の交点を$w$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　関係式

$(w-a)(\bar{z}-\bar{a})=R^2$

が成り立つことを示しなさい．

(2)　$a=0\text{，}$$R=1$とする．$z$が$\left|z\right|<1\text{，}$$\mathrm{Re}z={\displaystyle \frac{1}{4}}$をみたしながら動くとき．点$w$はどのような図形を描くか求め，図示しなさい．ただし，$\mathrm{Re}z$は$z$の実部を表す．

【３】　自然数$n=1\text{，}$$2\text{，}\cdots$に対し，

$f_1(x)=e^x-1$

$f_2(x)=e^x-(1+x)$

$\cdots$

$f_n(x)=e^x-{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{\displaystyle \frac{1}{k!}}{x}^k$

$\cdots$

とおく．以下の問いに答えなさい．

(1)　自然数$n$に対し，$f_{n+1}(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{f}_n(t)\mathit{dt}$が成り立つことを示しなさい．

(2)　$0\leqq x\leqq 1$の範囲で，$0\leqq f_1(x)\leqq ex$が成り立つことを示しなさい．

(3)　すべての自然数$n$に対して，$0\leqq x\leqq 1$の範囲で$0\leqq f_n(x)\leqq e\cdot {\displaystyle \frac{x^n}{n!}}$が成り立つことを小問(1)，(2)と数学的帰納法を用いて示しなさい．

(4)　次の等式が成り立つことを示しなさい．

$e={\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{k!}}$

【１】　曲線$y=x^2+1$を$C$で表す．$C$上の$2$点$\mathrm{P}$$(p,p^2+1)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(-p,p^2+1)$における接線をそれぞれ$l\text{，}$$m$とし，$l$と$m$の交点を$\mathrm{R}$とする．ただし$p>0$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{R}$の座標を求めなさい．

(2)　$\mathrm{\angle PRQ}=45\mathrm{°}$のとき，$p$の値を求め，さらに$l\text{，}$$m\text{，}$$C$で囲まれた部分の面積を求めなさい．

【２】　$\mathrm{▵OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{C}$とし，辺$\mathrm{OB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．以下の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．

(2)　$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=3\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-4$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$の大きさを求めなさい．

【３】　$k$を実数の定数とし，$2$次方程式$x^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}kx-(2-k)=0$を考える．以下の問いに答えなさい．

(1)　この$2$次方程式が異なる$2$つの実数解をもつことを示しなさい．

(2)　この$2$次方程式の解の少なくとも一方は負であることを示しなさい．

【４】　すべての実数に対して定義された関数

$y=2(8^x+8^{-x})-3(1+a)(4^x+4^{-x})$$+6(1+a)(2^x+2^{-x})$$+a^3-6a-6$

を考える．ただし，$a$は定数である．$t=2^x+2^{-x}$とおくとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$y$を$t$用いて表しなさい．

(2)　$t\geqq 2$であることを示し，$x$を$t$を用いて表しなさい．

(3)　$y$の最小値$m(a)$を$a$を用いて表しなさい．