2024　高崎経済大学　前期

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(1)　$a={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{7}}{2}}$のとき，$a^2+a+1$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(2)　袋$\mathrm{A}$には白玉$4$個，赤玉$3$個，袋$\mathrm{B}$には白玉$2$個，赤玉$5$個が入っている．$1$個のさいころを投げて，$1$または$2$の目が出たら袋$\mathrm{A}$から，それ以外の目が出たら袋$\mathrm{B}$から玉を$1$個取り出す．ただし，さいころは$1$から$6$までの目が等しい確率で出るものとする．取り出した玉が赤玉であったとき，それが袋$\mathrm{A}$に入っていた玉である確率を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$について$\left|\overrightarrow{a}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=2\text{，}$$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=4$であるとする．このとき，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(4)　ある自然数$n$を$5$進法で表すと${2024}_{(5)}$となる．$n$を$10$進法で表せ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(5)　次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．

$f(x)=x^3+x^2-x+{\displaystyle {\int }_0^2}f(t)\mathit{dt}$

【２】　以下の各問に答えよ．

(1)　不等式$9^x-2\cdot 3^x+4^y-4\cdot 2^y\leqq 2$を考え，$X=3^x\text{，}$$Y=2^y$とおく．実数$x\text{，}$$y$がこの不等式を満たすとき，実数の組$(X,Y)$が定める領域を$XY$平面上に図示せよ．

(2)　不等式$9^x-2\cdot 3^x+4^y-4\cdot 2^y\leqq 2$を満たし，ともに$0$より大きい整数$x\text{，}$$y$の組$(x,y)$を求めよ．

(3)　$a$は実数とする．連立不等式

$\{\begin{array}{l}{9}^x-2\cdot 3^x+4^y-4\cdot 2^y\leqq 2\\ 3^x+2^y\geqq a\end{array}$

を満たす実数$x\text{，}$$y$が存在する$a$の値の範囲を求めよ．

【３】　自然数$n$に対して，$3^n$以上かつ$3^{n+1}$未満である整数の個数を$a_n$とする．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)　$a_1$を求めよ．なお，解答は答えのみでよい．

(2)　$a_5$を求めよ．なお，解答は答えのみでよい．

(3)　$a_n$を$n$の式で表せ．なお，解答は答えのみでよい．

(4)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{k}{a_k}}$を求めよ．

【４】　以下の各問に答えよ．

(1)　関数$y=x^3-5x^2+3x+9$の増減を調べよ．また，極値と，そのときの$x$の値を求めよ．

(2)　関数$y={\displaystyle \frac{1}{3}}{\log }_2(1+x)+{\displaystyle \frac{2}{3}}{\log }_2(1-{\displaystyle \frac{x}{3}})$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．また，最大値が$0$より大きいことを示せ．