2024　会津大学　推薦

【１】　以下の空欄をうめよ．

(1)　連立不等式

$\{\begin{array}{l}{x}^2-6x+5<0\\ x^2-7x+12>0\end{array}$

を解くと$\text{イ}$である．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(2)　$\overrightarrow{a}=(3,2,1)$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\alpha$とするとき，$\cos \alpha =\text{ロ}$である．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(3)　$\sqrt{10}$の小数部分を$a$とする．$a^2+{\displaystyle \frac{1}{a^2}}$を求めると$\text{ハ}$である．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(4)　$10$進法で表された$162$を$n$進法であらわすと${321}_{(n)}$になるとき，$n=\text{ニ}$である．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(5)　方程式${27}^x=7\times 3^x-6$の解は$x=\text{ホ}$である．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(6)　等式$f(x)=x^2-2x-8+3{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)\mathit{dt}$を満たす関数$f(x)$を求めると，$f(x)=\text{ヘ}$である．

【２】　袋の中に白石と黒石が合計$7$個入っている．（すべてが白石またはすべてが黒石でもよい．）このとき以下の試行を考える．

・袋から石を$1$個取り出し，それが白石のときは取り出した石の代わりに黒石を$1$個袋に入れ，黒石のときには取り出した石の代わりに白石を$1$個袋に入れる．

はじめに袋の中に白石が$2$個と黒石が$5$個入っているとき，この試行を$3$回繰り返す．以下の問いに答えよ．

(1)　$1$回目の試行で取り出した石が黒石である確率を求めよ．$\text{イ}$

(2)　$3$回目の試行で取り出した石が黒石である確率を求めよ．$\text{ロ}$

(3)　$3$回の試行で取り出した石がすべて黒石である確率を求めよ．$\text{ハ}$

(4)　$3$回の試行のうち，少なくとも$1$回は白石が取り出される確率を求めよ．$\text{ニ}$

【３】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を定数とする．$3$次関数$f(x)$$=2x^3$$+a{x}^2+bx+c$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$が$x=0\text{，}$$-1$で極値をとり，$f(-1)=0$を満たすとき，定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

$a=\text{イ}\text{，}$$b=\text{ロ}\text{，}$$c=\text{ハ}$

(2)　(1)で得られた関数$y=f(x)$のグラフ$C$と$x$軸で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．$S=\text{ニ}$

【４】　平面上に平行四辺形$\mathrm{OABC}$がある．線分$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{OC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{X}\text{，}$直線$\mathrm{OX}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Y}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　$\mathrm{CX}:\mathrm{XP}=t:(1-t)$とおいて，$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$t$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=\text{イ}$である．

(2)　$\mathrm{QX}:\mathrm{XB}=s:(1-s)$とおいて，$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$s$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=\text{ロ}$である．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=\text{ハ}$である．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{OY}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OY}}=\text{ニ}$である．