2024　秋田県立大学　前期

【１】　以下の設問(1)〜(3)に答えよ．ただし，すべて答えのみでよい．

(1)　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$a_1=-1\text{，}$$a_{n+1}=-2a_n+3$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

【１】　以下の設問(1)〜(3)に答えよ．ただし，すべて答えのみでよい．

(2)　すべての面が四角形となっている凸多面体の面の数が$60$のとき，辺の数と頂点の数を求めよ．

【１】　以下の設問(1)〜(3)に答えよ．ただし，すべて答えのみでよい．

(3)　次の定積分を求めよ．ここで，$e$は自然対数の底である．

${\displaystyle {\int }_1^e}(2e^x-{\displaystyle \frac{10}{x}})\mathit{dx}$

【２】　$k$を正の定数として，関数$f(x)=\left|x\right|(2k-x)$を考える．次の設問(1)〜(4)に答えよ．ただし，設問(1)は答えのみでよい．

(1)　$f(-2)$を求めよ．

(2)　範囲$x\geqq 0$における$f(x)$の最大値を求めよ．

(3)　関数$y=f(x)$のグラフの概形を座標平面上にかけ．

(4)　方程式$f(x)=4k+5$が異なる三つの実数解をもつとき，定数$k$の値の範囲を求めよ．

【３】　座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の座標$(x,y)$が，時刻$t$の関数として

$x={\cos }^3{\displaystyle \frac{\pi }{20}}t\text{，}$$y={\sin }^3{\displaystyle \frac{\pi }{20}}t$

で表されるとする．また，時刻$t=0$における点$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{A}$とし，位置$\mathrm{A}$を$t=0$に出発した点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$に初めて戻ってくる時刻を$T$とする．このとき，以下の設問(1)〜(4)に答えよ．ただし，設問(1)は答えのみでよい．

(1)　時刻$T$を求めよ．

(2)　時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速さを求めよ．

(3)　$0\leqq t\leqq T$の範囲において点$\mathrm{P}$の速さの最大値と速さが最大となるすべての時刻を求めよ．

(4)　時刻$t=0$から$t=T$までに点$\mathrm{P}$が動く道のりを求めよ．

【４】　数字$1$のみが書かれた札が$1$枚，数字$2$のみが書かれた札が$2$枚，数字$3$のみが書かれた札が$3$枚入った袋がある．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$人がこの順に札を袋から$1$枚ずつ取り出す．ただし，取り出した札はもとに戻さない．$\mathrm{A}$が取り出した札に書かれた数を$a\text{，}$$\mathrm{B}$が取り出した札に書かれた数を$b$とするとき，以下の設問(1)〜(4)に答えよ．

(1)　$a=b=2$である確率を求めよ．

(2)　$a<b$である確率を求めよ．

(3)　$x$の$1$次方程式$2ax-b=1$の解が整数になる確率を求めよ．

(4)　$a\leqq 2$であるという事象を$C\text{，}$$b\leqq 2$であるという事象を$D$とする．このとき，条件付き確率$P_C(D)$を求めよ．