2024　宮城大学　後期

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問１　$2^{2024}$が何桁の整数か求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問２　不等式$a{x}^2+x-b<0$の解が$x<1\text{，}$$2<x$のとき，定数$a$と$b$の値を求めよ．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問３　$\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$\tan \theta +{\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}$の値を求めよ．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問４　関数$f(x)=x^3-3x^2+1$に対して，$x$の方程式$f(x)=k$が$3$個の異なる実数解をもつとき，定数$k$の値の範囲を求めよ．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問５　$a$を実数とする．関数$f(x)=a{x}^2-2ax$$\text{（}0\leqq x\leqq 3\text{）}$の最大値が$6$のとき，$a$の値と，そのときの最小値を求めよ．

【２】　$a$を実数とする．$x$と$y$についての連立方程式(＊)に対して，次の問に答えよ．

(＊)　$\{\begin{array}{l}y=x^2\\ y=-2x^2+4ax-2a^2+1\end{array}$

(1)　連立方程式(＊)が実数解$(x,y)$をもたないときの，実数$a$の条件を求めよ．

(2)　連立方程式(＊)が異なる$2$組の実数解$(x,y)$をもつときの，実数$a$の条件を求めよ．

(3)　連立方程式(＊)を満たす実数$y$がただ一つであるときの，実数$a$の条件をすべて求めよ．さらに，それぞれの条件のときの実数解$(x,y)$をすべて求めよ．

【３】　実数の定数$a\text{，}$$b\text{，}$$m\text{，}$$n$に対して，$2$つの曲線$C_1\text{：}y=2x^2$と$C_2\text{：}y=x^3+a{x}^2+bx$は点$(1,2)$を共有点としてもち，かつその共有点で接線$l\text{：}y=mx+n$を共有するとき，次の問に答えよ．

(1)　定数$a\text{，}$$b\text{，}$$m\text{，}$$n$を求めよ．

(2)　曲線$C_2$と直線$l$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(3)　曲線$C_1\text{，}$曲線$C_2\text{，}$直線$l$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　トランプのカード，エース$\text{(}\mathrm{A}\text{)，}$ジャック$\text{(}\mathrm{J}\text{)，}$クイーン$\text{(}\mathrm{Q}\text{)，}$キング$\text{(}\mathrm{K}\text{)}$のそれぞれの$4$種の絵柄（スペード，ハート，クラブ，ダイヤ）の計$16$枚をよく混ぜて裏にして並べる．カードを$1$枚ずつめくり，表にしていくことを繰り返す．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{J}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{K}$いずれかの，$4$種の絵柄がすべて表になった時点で終了とする．次の問に答えよ．

(1)　$4$回めくった時点で，$\mathrm{A}$の$4$種の絵柄がすべて表になり終了する確率を求めよ．

(2)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5$に対して，$n$回めくった時点で終了する確率を求めよ．

(3)　$7$回めくった時点で終了する確率を求めよ．

【５】　次の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}}={\displaystyle \frac{1}{c}}({\displaystyle \frac{1}{2n+1}}-{\displaystyle \frac{1}{2n+3}})$を満たす定数$c$を求めよ．

(2)　初項から第$n$項までの和が$S_n=n^2+n$である数列$\{a_n\}$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅱ)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{a_k{a}_{k+1}}}}$を求めよ．

(3)　初項から第$n$項までの和が$T_n=n^2+n+2$である数列$\{b_n\}$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅱ)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{b_k{b}_{k+1}}}$を求めよ．

【６】　次の問題を解答するにあたっては，必要に応じて正規分布表を用いてもよい．

　ある県の全世帯から$2500$世帯を無作為抽出して，ある意見に対する賛否を調べたところ，$1600$世帯が賛成であった．このとき，次の問に答えよ．

(1)　各世帯が賛成したとき$1\text{，}$そうでないとき$0$の値をとる確率変数を$X$とする．抽出した大きさ$2500$の標本についての$X$の標本平均$\bar{x}$と標準偏差$s$を求めよ．

(2)　この県の全世帯における賛成の母比率$p$を，信頼度$95\mathrm{\%}$で推定せよ．結果は小数第$4$位を四捨五入して小数第$3$位まで記述せよ．

(3)　この県の全世帯における賛成の母比率$p$を，信頼度$99\mathrm{\%}$で推定せよ．結果は小数第$4$位を四捨五入して小数第$3$位まで記述せよ．