2024　宮城大学　前期

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問１　$\theta$は鋭角とする．$\sin \theta ={\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき，$\cos \theta \text{，}$$\tan \theta$の値を求めよ．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問２　${\displaystyle \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}}$の分母を有理化せよ．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問３　$x^2+x+1=0$の解の$1$つを$\omega$とする．このとき，${\omega }^{2024}+\omega$の値を求めよ．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問４　関数$y=x^2+2x+3$$\text{（}-2\leqq x\leqq 1\text{）}$の最大値と最小値を求めよ．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問５　直線$l\text{：}(13a-3)x+(4a-1)y-a+2=0$$\text{（}a$は実数）は，$a$の値にかかわらず，ある定点$\mathrm{P}$を通る．定点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{AC}=5\text{，}$$\mathrm{\angle A}=120\mathrm{°}$であるとき，次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めよ．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$の外接円の内部および周を$D_1\text{，}$内接円の内部および周を$D_2$としたとき，$D_1$から$D_2$を除いた領域の面積を求めよ．

【３】　$x$についての整式$P(x)$は，${(x+1)}^2$で割ると$x+2$余り，${(x-1)}^2$で割ると$x+4$余るとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$P(1)\text{，}$$P(-1)$を求めよ．

(2)　$P(x)$を$(x+1)(x-1)$で割ったときの余りを求めよ．

(3)　$P(x)$を$(x+1){(x-1)}^2$で割ったときの余りを求めよ．

【４】　各面に$1$から$8$までの数字が書かれた正八面体のさいころがある．このさいころは同様に確からしく各数字が出るものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　このさいころを$2$回投げて出た目の差が$5$以上である確率を求めよ．

(2)　このさいころを$3$回投げて出た目の積が偶数である確率を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$さんと$\mathrm{C}$さんがそれぞれ，このさいころを投げて出た目が大きい方が高順位となるゲームを行うとき，順位の高い方から$\mathrm{A}$さん，$\mathrm{B}$さん，$\mathrm{C}$さんである確率を求めよ．

(4)　$\mathrm{D}$さんと$\mathrm{E}$さんはこのさいころを使ってゲームを行う．出た目が相手よりも大きい方が勝ちとなり，同じ目が出た場合は$\mathrm{D}$さんの勝ちとする．先に$3$勝した方が優勝となるが，$\mathrm{D}$さんは最初の$1$回で負けてしまった．その後，$\mathrm{D}$さんが優勝する確率を求めよ．

【５】　正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{\angle DAF}$の$2$等分線と線分$\mathrm{CF}\text{，}$$\mathrm{DF}$との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}$とするとき，以下のベクトルを$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{FC}}$(2)　$\overrightarrow{\mathrm{BE}}$(3)　$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$(4)　$\overrightarrow{\mathrm{RP}}$

【６】　次の問題を解答するにあたっては，必要に応じて正規分布表を用いてもよい．

　ある大学の受験生の数学の得点は毎年，母標準偏差$\sigma =7.8$の正規分布に従っていると仮定できる．今年の受験生から無作為に抽出した$9$名の数学の得点は次の通りであった．

$75\text{，}$$66\text{，}$$74\text{，}$$83\text{，}$$81\text{，}$$60\text{，}$$48\text{，}$$\text{99}\text{，}$$80\text{(点)}$

次の問に答えよ．

(1)　この標本の平均$\bar{x}$を求めよ．

(2)　この大学の今年の受験生の数学の得点の平均を，信頼度$95\mathrm{\%}$で推定せよ．結果は小数第$2$位を四捨五入して小数第$1$位まで記述せよ．

(3)　この大学の今年の受験生の数学の得点の平均を，信頼度$99\mathrm{\%}$で推定せよ．結果は小数第$2$位を四捨五入して小数第$1$位まで記述せよ．