2024　岩手県立大学　前期

【１】　以下の問いに答えなさい．

[問１]　次の設問に答えなさい．

(1)　$a$と$b$は$1$つの桁に対応する数とする．ある整数$N$を二進法で表すと${10a01}_{(2)}$となり，五進法で表すと${4b}_{(5)}$となるとき，$a\text{，}$$b$の値をそれぞれ求めなさい．また，このときの$N$の値を十進法で答えなさい．

(2)　十進法で表された数$18904$を二進法で表すとき，その桁数を求めなさい．

(3)　二進法で表された十桁の数のうち，${1100010011}_{(2)}$のように$1$がちょうど$5$つ含まれる数の総和を求めて十進法で答えなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

[問２]　$n$は正の整数とする．不等式

$\{\begin{array}{l}y\geqq 0\\ y\leqq -{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+n^2\end{array}$$\cdots \text{①}$

について，次の設問に答えなさい．

(1)　$n\geqq 2$のとき，$\text{①}$を同時に満たす整数の組$(x,y)$について，$x=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3$のときの個数をそれぞれ$n$を用いて表しなさい．

(2)　$\text{①}$を同時に満たす整数の組$(x,y)$の個数を$n$を用いて表しなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

[問１]　$3$次関数$f(x)=x^3+1$について，次の設問に答えなさい．

(1)　$f(-1)\text{，}$$f(0)\text{，}$$f(1)$の値をそれぞれ求めなさい．

(2)　$f(x)$を因数分解しなさい．

(3)　$3$次方程式$f(x)=0$の解をすべて求めなさい．

(4)　$3$次方程式$f(x)=9$の解をすべて求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

[問２]　$2$次関数$f(x)=x^2+ax+b$について，次の設問に答えなさい．

(1)　$f(x)$を$(x-a)$で割った商と余りをそれぞれ$a\text{，}$$b$を用いた式で表しなさい．

(2)　$2$次方程式$f(x)=0$が重解$\alpha$をもつとする．このとき$\alpha +1\text{，}$$\alpha -1$の$2$つの解をもつ$2$次方程式$x^2+px+q=0$の$p\text{，}$$q$をそれぞれ$a\text{，}$$b$を用いた式で表しなさい．

(3)　$f(1+i)=0$とする．このとき$a\text{，}$$b$の値をそれぞれ求めなさい．

【３】　$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$$(0,0)$から円$C\text{：}{(x-1)}^2+y^2=r^2$$\text{（}0<r<1\text{）}$へ引いた接線とその接点を考える．第$1$象限にある接点を${\mathrm{P}}_1\text{，}$第$4$象限にある接点を${\mathrm{P}}_2$とおき，${\mathrm{P}}_1$を通る接線を$l_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$を通る接線を$l_2$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　$l_1$の方程式および${\mathrm{P}}_1$の座標をそれぞれ$r$を用いて表しなさい．

[問２]　$l_1$と$l_2$が直交するとき，$r$の値を求めなさい．

[問３]　$l_1$と$l_2$が直交するとき，$C$と$l_1\text{，}$$l_2$に囲まれた領域の面積を求めなさい．

[問４]　$\mathrm{\angle }{\mathrm{P}}_1\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$であるとき，$C$と$l_1\text{，}$$l_2$に囲まれた領域の面積を求めなさい．

【４】　$a$が実数であるとき，次の関数$f(x)$について，以下の問いに答えなさい．

$f(x)=\cos x-{\displaystyle \frac{1}{4}}\sin 2x-ax$$\text{（}-\pi \leqq x\leqq \pi \text{）}$

[問１]　曲線$y=f(x)$上の点$(0,f(0))$における接線の傾きが$-{\displaystyle \frac{3}{4}}$であるとき，次の設問に答えなさい．

(1)　$a$の値を求めなさい．

(2)　$f(x)$の極値を求めなさい．

[問２]　$f(x)$が極値をもつ$a$の値の範囲を求めなさい．