2024　公立はこだて未来大学　総合型選抜

【１】　以下の問いに答えよ．

問１　$a$を実数とする．

$\{\begin{array}{l}|2x-1|<x+1\\ x^2-2ax+2-a^2<0\end{array}$

を満たす整数$x$が存在するとき，$a$のとりうる範囲をすべて求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

問２　次の方程式を解け．

${({\log }_{2}x)}^2+{\log }_2{x}^2-2{\log }_{4}x+{\log }_{\frac{1}{2}}4=0$

【１】　以下の問いに答えよ．

問３　$3$辺の長さが$6\text{，}$$7\text{，}$$8$である三角形の内接円の半径を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

問４　関数$f(x)=2x^3+a{x}^2+bx+c$が$x=-1$で極大値$3$をとり，$x=2$で極小値をとるように，定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値をそれぞれ求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

問５　座標平面上の曲線$y=x^3+x^2-9x$とその曲線上の点$(1,-7)$における接線で囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　連続型確率変数の分布の$1$つに正規分布がある．$m$を実数，$\sigma$を正の実数として

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }}{e}^{-\frac{{(x-m)}^2}{2{\sigma }^2}}$

とおく．連続型確率変数$X$の確率密度関数が$f(x)$であるとき，$X$は正規分布$N(m,{\sigma }^2)$に従うという．正規分布曲線$y=f(x)$は直線$x=m$に関して対称であり，$f(x)$の値は$x=m$で最大となる．また，$Z={\displaystyle \frac{X-m}{\sigma }}$とおくと，確率変数$Z$は標準正規分布$N(0,1)$に従う．

　標準正規分布$N(0,1)$に従う確率変数$Z$に対し，$u$を$0$以上の実数として確率$P(0\leqq Z\leqq u)$は，$m=0\text{，}$$\sigma =1$とした標準正規分布曲線$y=f(z)$の$z=0$から$z=u$までの定積分の値に相当する．いろいろな$u$の値に対する$P(0\leqq Z\leqq u)$を表にしたものを正規分布表と呼び，次のページに与えた．この表の読み方の例として，$u=1.05$のとき，$P(0\leqq z\leqq 1.05)=0.3531$である．

　確率変数$X$が正規分布$N(4,4^2)$に従い，確率変数$Z$は標準正規分布$N(0,1)$に従うとする．以下の問いに答えよ．ただし，必要に応じて次のページに与えた正規分布表を用いてもよい．

問１　$P(-1\leqq Z\leqq 0)$の値を求めよ．

問２　$P(-1\leqq Z\leqq 2)$の値を求めよ．

問３　$P(1\leqq Z\leqq 2.5)$の値を求めよ．

問４　$P(0\leqq X\leqq 6)$の値を求めよ．

問５　$P(5\leqq X\leqq 6)$の値を求めよ．

【１】　正の整数$a$を正の整数$b$で割った余りを求める計算を$amodb$と表すことにする．例えば，$10mod3$は$1$となる．このとき，以下の計算の答えを求めよ．

問１　$15mod2$

問２　$7mod63$

問３　$(10mod3)mod3$

【２】　以下の問いに答えよ．

問１　$50$以下の素数をすべて求めよ．なお，解答用紙には求めた素数のみを記述するだけでよい．

問２　$5$以上の整数$M$が素数であるかは，$2$から$\sqrt{M}$までの範囲のすべての整数で割ることによって判定できる．その理由を述べた以下の文の空欄$\text{ア}\text{〜}$$\text{エ}$のそれぞれに最も適切なものを選択肢a〜kの中から選び，記号で答えよ．ただし，同じ選択肢を何度使ってもよい．

　$M$を素数でないと仮定すると$M$は二つの整数$p\text{，}$$q$$\text{（}2\leqq p\leqq q\text{）}$の積$pq$で表せることになる．その場合，$p$は$2$以上$\text{ア}$以下の整数になり，$q$は$\text{イ}$の範囲の整数になるため，$\text{ウ}$以下のすべての整数で割り切れるかを確認すれば$M$が二つの整数の積で表せるかを確認することができる．二つの整数の積で表せなければ，仮定が間違っていることになり，$M$は$\text{エ}$と判定できる．

選択肢：

$\text{a．}1$$\text{b．}2$$\text{c．}\sqrt{M}$$\text{d．}{\displaystyle \frac{1}{M}}$$\text{e．}1\leqq q\leqq 2$$\text{f．}2\leqq q\leqq 5$$\text{g．}2M\leqq q\leqq M^2$$\text{h．}\sqrt{M}\leqq q\leqq {\displaystyle \frac{M}{2}}$$\text{i．}{\displaystyle \frac{1}{M}}\leqq q\leqq \sqrt{M}$

j．素数である　　k．素数でない