2024　公立はこだて未来大学　学校推薦

【１】　関数$f(x)=|x-2|$と定める．$t$を実数とし，座標平面上において，$y=f(x)$のグラフ上の点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$t\text{，}$$t+2$とする．以下の問いに答えよ．

問１　$y=f(x)$のグラフを座標平面上にかけ．

問２　$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$間の距離を$\mathrm{PQ}$とする．${\mathrm{PQ}}^2$を$t$を用いて表せ．

問３　点$\mathrm{R}$$(3,3)$とする．$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{R}$間および$2$点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$間の距離をそれぞれ$\mathrm{PR}\text{，}$$\mathrm{QR}$とする．$0\leqq t\leqq 2$のとき，$L={\mathrm{PR}}^2+{\mathrm{QR}}^2$の最大値，最小値およびそのときの$t$の値をそれぞれ求めよ．

【２】　$x$と$y$に関する条件$p$と$q$を次のように定める．

条件$p\text{：}3x^3-x^2-3x+1\leqq 0$

条件$q\text{：}2{\log }_{2}x\leqq {\log }_{2}y-1$$\leqq {\log }_2(x+2)$$+4{\log }_{16}\left({\displaystyle \frac{1-x}{2}}\right)$

以下の問いに答えよ．

問１　条件$p$を満たす$x$の範囲を求めよ．

問２　条件$q$を満たす領域を座標平面上に図示せよ．

問３　条件$p$かつ$q$を満たす座標平面上の領域の面積を求めよ．

【１】　連続型確率変数の分布の$1$つに正規分布がある．$m$を実数，$\sigma$を正の実数として

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }}{e}^{-\frac{{(x-m)}^2}{2{\sigma }^2}}$

とおく．連続型確率変数$X$の確率密度関数が$f(x)$であるとき，$X$は正規分布$N(m,{\sigma }^2)$に従うという．正規分布曲線$y=f(x)$は直線$x=m$に関して対称であり，$f(x)$の値は$x=m$で最大となる．また，$Z={\displaystyle \frac{X-m}{\sigma }}$とおくと，確率変数$Z$は標準正規分布$N(0,1)$に従う．

　標準正規分布$N(0,1)$に従う確率変数$Z$に対し，$u$を$0$以上の実数として確率$P(0\leqq Z\leqq u)$は，$m=0\text{，}$$\sigma =1$とした標準正規分布曲線$y=f(z)$の$z=0$から$z=u$までの定積分の値に相当する．いろいろな$u$の値に対する$P(0\leqq Z\leqq u)$を表にしたものを正規分布表と呼び，次のページに与えた．この表の読み方の例として，$u=1.05$のとき，$P(0\leqq z\leqq 1.05)=0.3531$である．

　ある高校の生徒の平均身長が$171.0\mathrm{cm}\text{，}$標準偏差が$5.0\mathrm{cm}$の正規分布に従うものとする．身長を確率変数$X$とおき，確率変数$Z={\displaystyle \frac{X-171.0}{5.0}}$とする．以下の問いに答えよ．ただし，必要に応じて次の正規分布表を用いてもよい．

問１　$173.0\leqq X\leqq 176.0$のとき，$Z$の値の範囲を求めよ．

問２　問１で求めた結果を用いて身長が$173.0\mathrm{cm}$以上$176.0\mathrm{cm}$以下の生徒は，約何$\mathrm{\%}$いるか．小数第$2$位を四捨五入して小数第$1$位まで求めよ．

問３　身長が$165.0\mathrm{cm}$以上の生徒は，約何$\mathrm{\%}$いるか．小数第$2$位を四捨五入して小数第$1$位まで求めよ．

問４　$P(Z\geqq u)\leqq 0.2$を満たす$u$の最小値を正規分布表から求めよ．

問５　問４で求めた結果を用いて身長の高い方から$20\mathrm{\%}$の中に入る生徒の身長は，何$\mathrm{cm}$以上か．最も小さい整数値で答えよ．