2024　釧路公立大学　中期MathJax

【１】　以下の各問に答えよ．

(1)　$\mathrm{AD}⫽\mathrm{BC}$である台形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=6\text{，}$$\mathrm{BC}=16\text{，}$$\mathrm{CD}=8\text{，}$$\mathrm{DA}=10$のときの面積を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．

(2)　曲線$y=x^3+16$がある．

(ⅰ)　原点を通り曲線に接する直線の方程式を求めよ．また，曲線と求めた直線との共有点の座標をすべて求めよ．

(ⅱ)　曲線と(ⅰ)で求めた直線で囲まれる図形の面積を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$の辺$\mathrm{AB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{CP}$と$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{CR}:\mathrm{RP}$を求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．

(1)　次の命題の否定を述べよ．また，もとの命題とその否定の真偽を調べよ．

(ⅰ)　ある実数$x$に対して，$x^2+2x+1\leqq 0$である．

(ⅱ)　$x^2-2mx+m-2=0$が虚数解をもつような実数$m$がある．

【２】　以下の各問に答えよ．

(2)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数とするとき，$a^2>bc$かつ$ac>b^2$ならば，$a\ne b$であることを証明せよ．

【３】　円$x^2+y^2=1$と曲線$y=x^2+a$がある．ただし，$a$は実数の定数である．以下の各問に答えよ．

(1)　$a$の値が変化するとき，円と曲線の共有点の個数はどのように変化するか．$a$の値によって分類せよ．

(2)　円と曲線が$2$点で接するときの接線の方程式を求めよ．

(3)　(2)で求めた接線と曲線によって囲まれる図形の面積を求めよ．

【４】$\text{（}1$から$6$の目が出る）$1$個のさいころを投げて，出た目の数を記録するという操作を$3$回繰り返す．このとき，記録された$3$つの整数の最小値を$m\text{，}$最大値を$M$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　$4<m$となる確率，および$M<4$となる確率を求めよ．

(2)　$m\leqq 4\leqq M$となる確率を求めよ．

(3)　$k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$6$に対して，$m\leqq k\leqq M$となる確率を$p(k)$とする．$p(k)$の最大値，最小値を求めよ．