2024　琉球大学　後期理学部

【１】　$0<a<1$とし，$f(x)=x^a\log x$$\text{（}x>0\text{）}$とする．次の問いに答えよ．

問１　関数$y=f(x)$の極値を求めよ．

問２　曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ．

問３　曲線$y=f(x)$の変曲点における接線の$y$切片を$g(a)$とする．$g(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

【２】　$a>0$とする．曲線$y=\sin x$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と$x$軸および直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で囲まれた図形を$D$とする．次の問いに答えよ．

問１　$D$の面積を求めよ．

問２　曲線$y=\sin x$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と曲線$y=a\cos x$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の交点の$x$座標を$t$とする．$\cos t$および$\sin t$を$a$を用いて表せ．

問３　$D$は曲線$y=a\cos x$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$によって図形$D_1\text{，}$$D_2$に分割されるとする．$D_1$と$D_2$の面積が等しいとき，$a$の値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を数直線上の点列とし，$a_1=1\text{，}$$a_2=2\text{，}$$a_n$と$a_{n+1}$を$1:2$に内分する点を$a_{n+2}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$とする．次の問いに答えよ．

問１　$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくことにより数列$\{b_n\}$を定める．$b_{n+1}$を$b_n$の式で表せ．

問２　一般項$b_n$を$n$の式で表せ．

問３　一般項$a_n$を$n$の式で表せ．

【４】　当たり$3$本を含む$9$本のくじがある．$9$人が順にこのくじを$1$本ずつ引く．引いたくじは，もとに戻さないものとする．次の問いに答えよ．

問１　$2$番目の人が当たりを引く確率を求めよ．

問２　$3$番目の人が，$2$本目の当たりを引く確率を求めよ．

問３　$2$本目の当たりを引く確率が最も大きいのは何番目にくじを引く人か答え，そのときの確率を求めよ．