2024　琉球大学　前期MathJax

【１】　$a$を正の実数とする．曲線$y=\log x$の点$(a,\log a)$における接線を$l_1\text{，}$点$(2a,\log 2a)$における接線を$l_2$とする．次の問いに答えよ．

問１　接線$l_1$の方程式を求めよ．

問２　$l_1$と$l_2$の交点の座標を求めよ．

問３　曲線$y=\log x$と直線$l_1\text{，}$$l_2$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．${\displaystyle \frac{S(a)}{a}}$を求めよ．

【２】　$a$を実数とし，$f(x)=x^2-{\displaystyle \frac{1}{x}}+a$とする．次の問いに答えよ．

問１　曲線$y=f(x)$の点$(t,f(t))$における接線の方程式を求めよ．

問２　原点$\mathrm{O}$から曲線$y=f(x)$にちょうど$2$本の接線が引けるような$a$の値を求めよ．

【３】　$z$を複素数で$|z-1|=\sqrt{2}$をみたすものとし，$w=z+{\displaystyle \frac{1}{z}}$とする．次の問いに答えよ．

問１　${|{\displaystyle \frac{1}{z}}+1|}^2=2$であることを示せ．

問２　$|w-2||w+2|=4$であることを示せ．

【４】　白玉$1$個が入った袋$\mathrm{A}$と，白玉$2$個と赤玉$2$個が入った袋$\mathrm{B}$がある．袋$\mathrm{B}$から無作為に玉を$1$個取り出し，袋$\mathrm{A}$に入っている玉と交換する．この試行を繰り返す．$n$回試行を繰り返したあとに，袋$\mathrm{A}$に入っている玉が白である確率を$p_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　$p_1$を求めよ．

問２　$p_{n+1}$を$p_n$の式で表せ．

問３　$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問１　$2024$の正の約数の総和を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問２　$4$乗すると$1$となる複素数をすべて求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問３　大きさ$1$のベクトルが$2$つあり，そのなす角は$75\mathrm{°}$である．このとき，この$2$つのベクトルの内積と${\displaystyle \frac{1}{4}}$はどちらが大きいか答えよ．

【２】　$xy$平面上で，中心が点$\mathrm{P}$$(0,2)$で半径が$1$の円と，放物線$y=x^2+a$$\text{（}a$は定数）が，異なる$2$点で接している．ただし，円と放物線がある点で接するとは，その点における円の接線と放物線の接線が一致することであり，その点を接点という．次の問いに答えよ．

問１　$a$の値を求めよ．

問２　$2$つの接点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．ただし，$\mathrm{A}$の$x$座標は$\mathrm{B}$の$x$座標より小さいとする．線分$\mathrm{PA}\text{，}$$\mathrm{PB}$と放物線で囲まれた図形の面積を求めよ．