2024　鹿児島大学　AO理学部

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　$1000$以下の自然数全体の集合を全体集合とする．その中で$4$の倍数全体の集合を$A$とし，$7$の倍数全体の集合を$B$とする．集合$\bar{A}\cup B$の要素の個数を求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　$-\pi \leqq x\leqq \pi$の範囲で$y=|\cos x+{\displaystyle \frac{1}{2}}|-{\displaystyle \frac{1}{2}}$のグラフを描け．ただし，$x$軸，$y$軸との共有点，最大値，最小値およびそのときの$x$の値も記入すること．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　$2$次方程式$x^2-5x+9=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とおくとき，${\alpha }^2-1\text{，}$${\beta }^2-1$という$2$つの数を解とする2次方程式を作れ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(4)　定積分を利用して極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\pi }{2n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{2n}}$を求めよ．

【２】　$1$枚のコインを$8$回続けて投げる．

(1)　表がちょうど$3$回出る確率を求めよ．

(2)　表がちょうど$5$回出て，しかもそのうちちょうど$4$回が連続する確率を求めよ．

(3)　表が$5$回以上続けて出る確率を求めよ．

【３】　平行六面体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$を考える．線分$\mathrm{BF}$上に点$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{DH}$上に点$\mathrm{Q}$があり$\overrightarrow{\mathrm{BP}}=s\overrightarrow{\mathrm{BF}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{DQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{DH}}$を満たす．さらに線分$\mathrm{EP}$と線分$\mathrm{EQ}$を$2$辺とする平行四辺形のもう$1$つの頂点を$\mathrm{R}$とする．このとき次の各問いに答えよ．ただし線分はその両端を含むものとする．

(1)　$\mathrm{R}$は直線$\mathrm{GC}$上にあることを示せ．

(2)　$\mathrm{R}$が線分$\mathrm{GC}$上にない場合を考える．直線$\mathrm{BC}$と直線$\mathrm{PR}$の交点を$\mathrm{S}\text{，}$直線$\mathrm{DC}$と直線$\mathrm{QR}$の交点を$\mathrm{T}$とする．

(ⅰ)　座標平面上に点$(s,t)$の取り得る範囲を図示せよ．

(ⅱ)　線分$\mathrm{BS}$と線分$\mathrm{SC}$の長さの比を$s$と$t$を用いて表せ．

(ⅲ)　$\mathrm{S}$が辺$\mathrm{BC}$を$5:3$に内分し，$\mathrm{T}$が辺$\mathrm{DC}$を$2:3$に内分する．$s$と$t$を求めよ．

【４】　初項を$a_1=6\text{，}$$b_1=1$とし，次の条件によって定められる数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を考える．

$a_{n+1}=9a_n+9b_n$

$b_{n+1}=-4a_n-3b_n$

このとき次の各問いに答えよ．

(1)　数列$\{c_n\}\text{，}$$\{d_n\}$を$c_n=2a_n+3b_n\text{，}$$d_n=a_n+b_n$で定めるとき，

$c_{n+1}=\alpha c_n+\beta d_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$d_{n+1}=\gamma c_n+\delta d_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす実数$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma \text{，}$$\delta$を求めよ．

(2)　数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

【５】　以下，$0\leqq x\leqq 1$の範囲で考える．関数$f_1(x)\text{，}$$f_2(x)$を

$f_1(x)=\sqrt{x}\text{，}$$f_2(x)=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}x$

とし，関数$h(x)$を

$h(x)={\{f_1(x)\}}^2-{\{f_2(x)\}}^2$

とする．

(1)　$h^{\prime }(x)=0$を満たす実数$x$$\text{（}0<x<1\text{）}$がちょうど$2$つあることを示せ．

(2)　関数$h(x)$の増減を調べよ．ただし(1)の$2$つの実数は$a\text{，}$$b$$\text{（}a<b\text{）}$とおくことにし，$a\text{，}$$b\text{，}$$h(a)\text{，}$$h(b)$の具体的な値を求める必要はない．

(3)　方程式$f_1(x)=f_2(x)$の$0<x<1$の範囲における解が${\displaystyle \frac{1}{2}}$のみであることを示せ．